箱Aには赤球1個、青球3個、白球6個の計10個の球が入っている。箱Bには10本のくじが入っており、当たりくじは2本である。まず、箱Aから球を1個無作為に取り出す。取り出した球の色によって、箱Bから引くくじの本数が変わる。赤球なら6本、青球なら3本、白球なら1本のくじを引く。 (1) 赤球を取り出し、かつ、当たりくじを引く確率 $p_1$ を求めよ。 (2) ちょうど1本当たる確率 $p_2$ を求めよ。 (3) 少なくとも1本当たる確率 $p_3$ を求めよ。 (4) 引いたくじが、はずれくじばかりであったとき、もともと赤球を取り出していた確率 $p_4$ を求めよ。

はい、承知しました。

1. 問題の内容

箱Aには赤球1個、青球3個、白球6個の計10個の球が入っている。箱Bには10本のくじが入っており、当たりくじは2本である。まず、箱Aから球を1個無作為に取り出す。取り出した球の色によって、箱Bから引くくじの本数が変わる。赤球なら6本、青球なら3本、白球なら1本のくじを引く。

(1) 赤球を取り出し、かつ、当たりくじを引く確率 $p_1$ を求めよ。

(2) ちょうど1本当たる確率 $p_2$ を求めよ。

(3) 少なくとも1本当たる確率 $p_3$ を求めよ。

(4) 引いたくじが、はずれくじばかりであったとき、もともと赤球を取り出していた確率 $p_4$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 赤球を取り出し、かつ、当たりくじを引く確率 $p_1$

まず、箱Aから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{10}$ である。

次に、赤球を取り出した場合、箱Bから6本のくじを引くことになる。

6本中少なくとも1本が当たりである確率を求める。これは、6本全てが外れである確率を1から引くことで求められる。

箱Bには当たりくじが2本、はずれくじが8本ある。

6本全てが外れである確率は、$\frac{\binom{8}{6}}{\binom{10}{6}} = \frac{28}{210} = \frac{2}{15}$

したがって、少なくとも1本が当たりである確率は $1 - \frac{2}{15} = \frac{13}{15}$

よって、$p_1 = \frac{1}{10} \times \frac{13}{15} = \frac{13}{150}$

(2) ちょうど1本当たる確率 $p_2$

赤球を取り出した場合：

6本引いて1本当たる確率は、$\frac{\binom{2}{1} \binom{8}{5}}{\binom{10}{6}} = \frac{2 \times 56}{210} = \frac{112}{210} = \frac{8}{15}$

青球を取り出した場合：

3本引いて1本当たる確率は、$\frac{\binom{2}{1} \binom{8}{2}}{\binom{10}{3}} = \frac{2 \times 28}{120} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$

白球を取り出した場合：

1本引いて1本当たる確率は、$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

箱Aから赤球を取り出す確率は $\frac{1}{10}$

箱Aから青球を取り出す確率は $\frac{3}{10}$

箱Aから白球を取り出す確率は $\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

$p_2 = \frac{1}{10} \times \frac{8}{15} + \frac{3}{10} \times \frac{7}{15} + \frac{6}{10} \times \frac{1}{5} = \frac{8}{150} + \frac{21}{150} + \frac{18}{50} = \frac{8}{150} + \frac{21}{150} + \frac{54}{150} = \frac{83}{150}$

(3) 少なくとも1本当たる確率 $p_3$

赤球を取り出した場合：少なくとも1本当たる確率は $\frac{13}{15}$ (上記参照)

青球を取り出した場合：3本全てが外れである確率は、$\frac{\binom{8}{3}}{\binom{10}{3}} = \frac{56}{120} = \frac{7}{15}$

したがって、少なくとも1本が当たりである確率は $1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$

白球を取り出した場合：1本引いて当たる確率は $\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

$p_3 = \frac{1}{10} \times \frac{13}{15} + \frac{3}{10} \times \frac{8}{15} + \frac{6}{10} \times \frac{1}{5} = \frac{13}{150} + \frac{24}{150} + \frac{18}{50} = \frac{13}{150} + \frac{24}{150} + \frac{54}{150} = \frac{91}{150}$

(4) 引いたくじが、はずれくじばかりであったとき、もともと赤球を取り出していた確率 $p_4$

引いたくじが全て外れである確率は、

赤球を取り出した場合：$\frac{2}{15}$

青球を取り出した場合：$\frac{7}{15}$

白球を取り出した場合：$\frac{8}{10} = \frac{4}{5}$

引いたくじが全て外れである確率を $P(はずれ)$ とする。

$P(はずれ) = \frac{1}{10} \times \frac{2}{15} + \frac{3}{10} \times \frac{7}{15} + \frac{6}{10} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{150} + \frac{21}{150} + \frac{24}{50} = \frac{2}{150} + \frac{21}{150} + \frac{72}{150} = \frac{95}{150} = \frac{19}{30}$

求める確率 $p_4$ は、$P(赤球|はずれ) = \frac{P(はずれ|赤球) \times P(赤球)}{P(はずれ)}$

$p_4 = \frac{\frac{2}{15} \times \frac{1}{10}}{\frac{19}{30}} = \frac{\frac{2}{150}}{\frac{19}{30}} = \frac{2}{150} \times \frac{30}{19} = \frac{60}{2850} = \frac{2}{95}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{13}{150}$

(2) $p_2 = \frac{83}{150}$

(3) $p_3 = \frac{91}{150}$

(4) $p_4 = \frac{2}{95}$