文字列"KANAGAWA"の8文字を並べ替える問題で、以下の5つの場合に何通りの並べ方があるかを求める。 (1) 1列に並べるとき、異なる並べ方 (2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方 (3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方 (4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方 (5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

1. 問題の内容

文字列"KANAGAWA"の8文字を並べ替える問題で、以下の5つの場合に何通りの並べ方があるかを求める。

(1) 1列に並べるとき、異なる並べ方

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

2. 解き方の手順

(1) 1列に並べるとき、異なる並べ方

"KANAGAWA"の8文字のうち、Aが3つ、Nが1つ、Gが1つ、Wが1つ、Kが1つである。よって、異なる並べ方は、同じものを含む順列の公式より、

$\frac{8!}{3!1!1!1!1!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$

(2) 1列に並べるとき、両端にAがくる並べ方

両端にAを配置すると、残りの文字は"KNAGAWA"となり、Aが1つ、Nが1つ、Gが1つ、Wが1つ、Kが1つである。残りの6文字を並べる方法は、

$\frac{6!}{1!} = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(3) 1列に並べるとき、Aが隣り合わない並べ方

まず、A以外の5文字(KNGW)を並べる。これは$5!$通り。

例えば、KNGWの順で並んだとき、_K_N_G_W_のようにAを配置できる場所は6箇所。

この6箇所から3箇所を選んでAを配置する方法は${}_{6}C_{3}$通り。

よって、Aが隣り合わない並べ方は、

$5! \times {}_{6}C_{3} = 120 \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 120 \times 20 = 2400$

(4) 1列に並べるとき、K, N, G, Wがこの順にある並べ方

K, N, G, Wの順序が決まっているため、これらを同じ文字Xで置き換えて並べた後、左から順にK, N, G, Wを割り当てれば良い。

つまり、"KANAGAWA"のK, N, G, WをXに置き換えると、"AXXAAXA"となり、この8文字の並べ方を考える。

$\frac{8!}{3!4!} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 8 \times 7 \times 5 = 280$

(5) 円形に並べるとき、Aすべてが隣り合う並べ方

3つのAをひとまとめにしてAAAと考えると、AAA, K, N, G, W の5つの要素を円形に並べることになる。

円順列の総数は $(5-1)! = 4! = 24$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 6720通り

(2) 720通り

(3) 2400通り

(4) 280通り

(5) 24通り