確率密度関数 $f(x)$ が与えられ、以下の問題を解く必要があります。 (1) 正の定数 $a$ の値を求め、 $1 \le X \le 2$ となる確率と $|X| \le \frac{1}{2}$ となる確率を求める。 (2) 確率変数 $X$ の平均と分散を求める。

1. 問題の内容

確率密度関数 $f(x)$ が与えられ、以下の問題を解く必要があります。

(1) 正の定数 $a$ の値を求め、 $1 \le X \le 2$ となる確率と $|X| \le \frac{1}{2}$ となる確率を求める。

(2) 確率変数 $X$ の平均と分散を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$a$の値を求めるために、確率密度関数の積分が1になることを利用します。つまり、$\int_{-1}^{2} f(x) dx = 1$ を解きます。

$\int_{-1}^{2} f(x) dx = \int_{-1}^{0} 2a(x+1) dx + \int_{0}^{2} a(2-x) dx = 1$

$\int_{-1}^{0} 2a(x+1) dx = 2a \int_{-1}^{0} (x+1) dx = 2a [\frac{x^2}{2} + x]_{-1}^{0} = 2a [0 - (\frac{1}{2} - 1)] = 2a (\frac{1}{2}) = a$

$\int_{0}^{2} a(2-x) dx = a \int_{0}^{2} (2-x) dx = a [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{2} = a [(4 - \frac{4}{2}) - 0] = a(4-2) = 2a$

したがって、$a + 2a = 3a = 1$ となり、$a = \frac{1}{3}$ となります。

次に、$1 \le X \le 2$ となる確率を求めます。

$P(1 \le X \le 2) = \int_{1}^{2} f(x) dx = \int_{1}^{2} a(2-x) dx = a \int_{1}^{2} (2-x) dx = \frac{1}{3} [2x - \frac{x^2}{2}]_{1}^{2} = \frac{1}{3} [(4-2) - (2 - \frac{1}{2})] = \frac{1}{3} [2 - \frac{3}{2}] = \frac{1}{3} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{6}$

次に、$|X| \le \frac{1}{2}$ となる確率を求めます。これは $-\frac{1}{2} \le X \le \frac{1}{2}$ となる確率と同じです。

$P(-\frac{1}{2} \le X \le \frac{1}{2}) = \int_{-\frac{1}{2}}^{0} 2a(x+1) dx + \int_{0}^{\frac{1}{2}} a(2-x) dx$

$\int_{-\frac{1}{2}}^{0} 2a(x+1) dx = 2a [\frac{x^2}{2} + x]_{-\frac{1}{2}}^{0} = 2a [0 - (\frac{1}{8} - \frac{1}{2})] = 2a (-\frac{1}{8} + \frac{4}{8}) = 2a (\frac{3}{8}) = \frac{3}{4}a = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} a(2-x) dx = a [2x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{\frac{1}{2}} = a [(1 - \frac{1}{8}) - 0] = a (\frac{7}{8}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{24}$

したがって、$P(-\frac{1}{2} \le X \le \frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{7}{24} = \frac{6}{24} + \frac{7}{24} = \frac{13}{24}$

(2)

平均 $E[X] = \int_{-1}^{2} x f(x) dx = \int_{-1}^{0} x(2a(x+1)) dx + \int_{0}^{2} x(a(2-x)) dx$

$= \int_{-1}^{0} 2ax(x+1) dx + \int_{0}^{2} ax(2-x) dx = \int_{-1}^{0} 2a(x^2+x) dx + \int_{0}^{2} a(2x-x^2) dx$

$= 2a [\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + a [x^2 - \frac{x^3}{3}]_{0}^{2} = 2a[0 - (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2})] + a[(4 - \frac{8}{3}) - 0]$

$= 2a(-\frac{1}{6}) + a(\frac{4}{3}) = -\frac{a}{3} + \frac{4a}{3} = \frac{3a}{3} = a = \frac{1}{3}$

分散 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \int_{-1}^{2} x^2 f(x) dx = \int_{-1}^{0} x^2(2a(x+1)) dx + \int_{0}^{2} x^2(a(2-x)) dx$

$= \int_{-1}^{0} 2a(x^3+x^2) dx + \int_{0}^{2} a(2x^2-x^3) dx = 2a[\frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3}]_{-1}^{0} + a[\frac{2x^3}{3} - \frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$

$= 2a[0 - (\frac{1}{4} - \frac{1}{3})] + a[(\frac{16}{3} - \frac{16}{4}) - 0] = 2a(\frac{1}{12}) + a(\frac{16}{3} - 4) = \frac{a}{6} + a(\frac{4}{3}) = \frac{a}{6} + \frac{8a}{6} = \frac{9a}{6} = \frac{3a}{2} = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{2}$

$V[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{2} - (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{2} - \frac{1}{9} = \frac{9}{18} - \frac{2}{18} = \frac{7}{18}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{1}{3}$

$1 \le X \le 2$ となる確率は $\frac{1}{6}$

$|X| \le \frac{1}{2}$ となる確率は $\frac{13}{24}$

$X$ の平均は $\frac{1}{3}$

$X$ の分散は $\frac{7}{18}$