赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。これを3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から、玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻す。これを3回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求める。

2. 解き方の手順

まず、1回の試行で赤玉が出る確率を計算する。

袋の中には赤玉が4個、白玉が2個入っているので、合計6個の玉が入っている。

したがって、1回の試行で赤玉が出る確率は、

$P(赤) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

である。

同様に、1回の試行で白玉が出る確率は、

$P(白) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

である。

3回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布を用いて計算できる。

二項分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

である。ここで、$n$は試行回数、$k$は成功回数、$p$は1回の試行での成功確率である。

この問題では、$n=3$、$k=2$、$p = \frac{2}{3}$であるから、赤玉が2回出る確率は、

$P(X=2) = {}_3 C_2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 \left(\frac{1}{3}\right)^{3-2} = 3 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{3} = \frac{12}{27} = \frac{4}{9}$

となる。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{9}$