赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻すという試行を4回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求めます。

1. 問題の内容

赤玉4個と白玉2個が入っている袋から玉を1個取り出し、色を見てから袋に戻すという試行を4回繰り返すとき、赤玉が2回出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

この問題は反復試行の確率の問題です。

1回の試行で赤玉が出る確率は $\frac{4}{4+2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ です。

したがって、1回の試行で白玉が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。

4回の試行で赤玉が2回出る確率は、二項分布の考え方を使って計算できます。

二項分布の確率質量関数は次のようになります。

$P(X=k) = {}_n C_k p^k (1-p)^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は1回の試行における成功確率、$P(X=k)$ は $n$ 回の試行で $k$ 回成功する確率です。

この問題では、$n = 4$ (試行回数)、$k = 2$ (赤玉が出る回数)、$p = \frac{2}{3}$ (1回の試行で赤玉が出る確率) です。

したがって、求める確率は次のようになります。

$P(X=2) = {}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^{4-2} = {}_4 C_2 (\frac{2}{3})^2 (\frac{1}{3})^2$

${}_4 C_2 = \frac{4!}{2! (4-2)!} = \frac{4!}{2! 2!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{24}{4} = 6$

$P(X=2) = 6 \times (\frac{2}{3})^2 \times (\frac{1}{3})^2 = 6 \times \frac{4}{9} \times \frac{1}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{27}$