赤玉4個、白玉3個、青玉1個がある。この中から4個を取り出して作る組合せの総数と、順列の総数を求めよ。

1. 問題の内容

赤玉4個、白玉3個、青玉1個がある。この中から4個を取り出して作る組合せの総数と、順列の総数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、組合せの総数を求める。次に、それぞれの組合せに対して、順列の総数を計算する。

(1) 組合せの総数

取り出す4個の玉の色によって場合分けする。

(i) 赤玉4個の場合：1通り

(ii) 赤玉3個の場合：残りの1個は白か青。2通り

(iii) 赤玉2個の場合：残りの2個は白2個, 白1個+青1個, 白0個+青0個(ありえない)。

* 白玉2個：1通り

* 白玉1個+青玉1個：1通り

*白玉0個の場合(赤玉2個＋青玉2個)：ありえない

合計：2通り

(iv) 赤玉1個の場合：残りの3個は白3個, 白2個+青1個

* 白玉3個：1通り

* 白玉2個+青玉1個：1通り

合計：2通り

(v) 赤玉0個の場合：残りの4個は白玉3個+青玉1個

* 白玉3個+青玉1個：1通り

したがって、組合せの総数は $1 + 2 + 2 + 2 + 1 = 8$ 通り。

(2) 順列の総数

それぞれの組合せについて、順列の総数を計算する。

(i) 赤玉4個の場合：$\frac{4!}{4!} = 1$ 通り

(ii) 赤玉3個、白玉1個の場合：$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

(iii) 赤玉3個、青玉1個の場合：$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

(iv) 赤玉2個、白玉2個の場合：$\frac{4!}{2!2!} = \frac{24}{4} = 6$ 通り

(v) 赤玉2個、白玉1個、青玉1個の場合：$\frac{4!}{2!1!1!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り

(vi) 赤玉1個、白玉3個の場合：$\frac{4!}{1!3!} = 4$ 通り

(vii) 赤玉1個、白玉2個、青玉1個の場合：$\frac{4!}{1!2!1!} = \frac{24}{2} = 12$ 通り

(viii) 白玉3個、青玉1個の場合：$\frac{4!}{3!1!} = 4$ 通り

したがって、順列の総数は $1 + 4 + 4 + 6 + 12 + 4 + 12 + 4 = 47$ 通り。

3. 最終的な答え

組合せの総数: 8通り

順列の総数: 47通り