A君とB君の2人がじゃんけんを6回するとき、A君が4回勝つ確率を求める。ただし引き分けは回数に含むとする。

1. 問題の内容

A君とB君の2人がじゃんけんを6回するとき、A君が4回勝つ確率を求める。ただし引き分けは回数に含むとする。

2. 解き方の手順

じゃんけん1回におけるA君の勝つ確率は $1/3$ 、負ける確率は $1/3$ 、引き分ける確率は $1/3$ である。

6回のじゃんけんでA君が4回勝つということは、残りの2回はA君が負けるか引き分けるかのどちらかである。

まず、6回のうちA君が4回勝つ組み合わせの数を考える。これは二項係数で表され、${}_6 C_4$ 通りである。

${}_6 C_4 = \frac{6!}{4! (6-4)!} = \frac{6!}{4! 2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

次に、A君が4回勝ち、残りの2回はA君が負けるか引き分ける確率を考える。A君が勝つ確率は $1/3$ 、負ける確率は $1/3$ 、引き分ける確率は $1/3$ である。したがって、A君が負けるか引き分ける確率は $(1/3) + (1/3) = 2/3$ である。

A君が4回勝ち、残りの2回が負けまたは引き分けとなる確率は、

$(\frac{1}{3})^4 \times (\frac{2}{3})^2 = \frac{1}{81} \times \frac{4}{9} = \frac{4}{729}$

求める確率は、上記の組み合わせの数と確率を掛け合わせたものになる。

$15 \times \frac{4}{729} = \frac{60}{729} = \frac{20}{243}$

3. 最終的な答え

$\frac{20}{243}$