A, B, C, D, E の 5 人がそれぞれ自分の名刺を 1 枚持っている。この 5 人が 1 枚ずつ名刺を取るとき、1 人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

1. 問題の内容

A, B, C, D, E の 5 人がそれぞれ自分の名刺を 1 枚持っている。この 5 人が 1 枚ずつ名刺を取るとき、1 人だけが自分の名刺を取るような取り方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

まず、自分の名刺を取る 1 人を選ぶ。これは 5 通りある。

残りの 4 人は誰も自分の名刺を取らないように名刺を取る必要がある。これは完全順列と呼ばれる。4 人の場合の完全順列の数を求める。

* 4 人の場合の完全順列の数を $D_4$ とすると、漸化式 $D_n = (n-1)(D_{n-1} + D_{n-2})$ が成り立つ。

* $D_1 = 0$, $D_2 = 1$ なので、

$D_3 = (3-1)(D_2 + D_1) = 2(1 + 0) = 2$

$D_4 = (4-1)(D_3 + D_2) = 3(2 + 1) = 9$

したがって、4 人が誰も自分の名刺を取らないように取る方法は 9 通り。

よって、求める場合の数は $5 \times 9 = 45$ 通り。

3. 最終的な答え

45 通り