数直線上を移動する点Pがあり、さいころを投げて2以下の目が出たら正の方向に3、3以上の目が出たら負の方向に1移動する。さいころをm回投げたときの点Pの座標をXとする。 (1) m=5のとき、5回のうち2以下の目が出た回数をNとする。確率変数Nの平均、分散、XとNの関係式、確率変数Xの平均、標準偏差を求める。 (2) Xの平均がちょうど4となるとき、さいころを投げた回数mと、X=0となる確率を求める。

1. 問題の内容

数直線上を移動する点Pがあり、さいころを投げて2以下の目が出たら正の方向に3、3以上の目が出たら負の方向に1移動する。さいころをm回投げたときの点Pの座標をXとする。

(1) m=5のとき、5回のうち2以下の目が出た回数をNとする。確率変数Nの平均、分散、XとNの関係式、確率変数Xの平均、標準偏差を求める。

(2) Xの平均がちょうど4となるとき、さいころを投げた回数mと、X=0となる確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

* Nは二項分布に従う。1回の試行で2以下の目が出る確率は $\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$。

* Nの平均は $E[N] = m \times p = 5 \times \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$。

* Nの分散は $V[N] = m \times p \times (1-p) = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{9}$。

* XとNの関係式を求める。N回2以下の目が出ると3Nだけ正の方向に移動し、残りの(5-N)回は3以上の目が出るので、-(5-N)だけ負の方向に移動する。したがって、$X = 3N - (5-N) = 4N - 5$。

* Xの平均は $E[X] = E[4N - 5] = 4E[N] - 5 = 4 \times \frac{5}{3} - 5 = \frac{20}{3} - \frac{15}{3} = \frac{5}{3}$。

* Xの分散は $V[X] = V[4N - 5] = 4^2 V[N] = 16 \times \frac{10}{9} = \frac{160}{9}$。

* Xの標準偏差は $\sigma[X] = \sqrt{V[X]} = \sqrt{\frac{160}{9}} = \frac{\sqrt{160}}{3} = \frac{4\sqrt{10}}{3}$。

(2)

* m回さいころを投げたとき、2以下の目が出る回数をNとすると、Nは二項分布に従う。1回の試行で2以下の目が出る確率は $\frac{1}{3}$。

* Nの平均は $E[N] = m \times \frac{1}{3} = \frac{m}{3}$。

* XとNの関係式は $X = 4N - m$。

* Xの平均は $E[X] = E[4N - m] = 4E[N] - m = 4 \times \frac{m}{3} - m = \frac{4m}{3} - \frac{3m}{3} = \frac{m}{3}$。

* $E[X] = 4$となるので、$\frac{m}{3} = 4$より、$m = 12$。

* $X = 0$となるのは、$4N - m = 0$、つまり$4N - 12 = 0$、よって$N = 3$のとき。

* Nは二項分布$B(12, \frac{1}{3})$に従うので、$N=3$となる確率は

$P(N=3) = \binom{12}{3} (\frac{1}{3})^3 (\frac{2}{3})^9 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{2^9}{3^{12}} = 220 \times \frac{2^9}{3^{12}} = \frac{55 \times 2^{11}}{3^{12}} = \frac{55 \times 2048}{531441} = \frac{112640}{531441} = \frac{220 \cdot 2^9}{3^{12}} = \frac{440\cdot 2^8}{3^{12}} = \frac{220\cdot 2^9}{3^{12}} = \frac{55\cdot 2^{11}}{3^{12}} = \frac{55 \times 2048}{531441} = \frac{112640}{531441}$。約分はできないので、 $\frac{55 \times 2^{11}}{3^{12}} = \frac{55\cdot 2^{9+2}}{3^{12}}=\frac{55\cdot4\cdot 2^9}{3^{12}}=\frac{220 \cdot 2^9}{3^{12}}$となる。

3. 最終的な答え

(1)

Nの平均: $\frac{5}{3}$

Nの分散: $\frac{10}{9}$

XとNの関係式: $4N - 5$

Xの平均: $\frac{5}{3}$

Xの標準偏差: $\frac{4\sqrt{10}}{3}$

(2)

m = 12

X=0となる確率: $\frac{55 \cdot 2^{11}}{3^{12}}$