ある大学の入学試験における、受験生全体の平均点と標準偏差が与えられています。Aさんの得点が与えられたとき、Aさんの得点を標準化した値、Aさんの得点以上の受験生の割合、およびAさんの順位を求めます。また、合格率が与えられたときに合格最低点を求めます。

1. 問題の内容

ある大学の入学試験における、受験生全体の平均点と標準偏差が与えられています。Aさんの得点が与えられたとき、Aさんの得点を標準化した値、Aさんの得点以上の受験生の割合、およびAさんの順位を求めます。また、合格率が与えられたときに合格最低点を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

* 標準化：標準化された変数 $Z$ は、$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$で与えられます。ここで、$X$は得点、$\mu$は平均、$\sigma$は標準偏差です。Aさんの得点$X=68$, 平均$\mu = 53.6$, 標準偏差$\sigma = 19.2$を代入すると、

$Z = \frac{68 - 53.6}{19.2} = \frac{14.4}{19.2} = 0.75$

よって、$Z = 0.75$

* 確率の計算：$P(X \geq 68) = P(Z \geq 0.75)$です。問題文には正規分布表が与えられていませんが、解答欄から、$P(Z \geq 0.75) = 0.2266$と推測します。

* 順位の推定：受験生全体5400人のうち、Aさん以上の得点を取った人数は、$5400 \times 0.2266 \approx 1224.84$。つまり、上位1225人程度と考えられます。選択肢の中から最も近い範囲は「1200位から1499位の間」です。

(2)

* 合格最低点の推定：合格率が67%であることから、上位67%に入る最低点を求めます。正規分布表から、$P(Z \geq z) = 1 - 0.67 = 0.33$となる$z$を求めます。正規分布表は与えられていないので、解答欄から逆算します。

$z \approx 0.44$の時、$P(Z \geq 0.44) \approx 0.33$となるので、$z = 0.44$とします。

$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$ より、$X = Z\sigma + \mu$。

$X = 0.44 \times 19.2 + 53.6 = 8.448 + 53.6 = 62.048 \approx 62$

解答欄の選択肢から、最も近いものは63点です。

実際には問題文に正規分布表があることを前提として考えるべきだが、ここでは選択肢から推定しました。

3. 最終的な答え

(1)

アイ = 53.6

ウ = 19.2

エオカ = 0.75

キク = 68

コサ = 0.75

シスセソ = 0.2266

タ = (4) 1200位から1499位の間

(2)

チ = (9) 63