箱Aには赤球1個、青球3個、白球6個の合計10個の球が入っている。箱Bには10本のくじが入っており、そのうち当たりくじは2本である。箱Aから球を1個無作為に取り出す。取り出した球が赤球のときは6本、青球のときは3本、白球のときは1本のくじを箱Bから引く。以下の確率を求める。 (1) 赤球を取り出し、かつ当たりくじを引く確率 $p_1$ (2) ちょうど1本当たる確率 $p_2$ (3) 少なくとも1本当たる確率 $p_3$ (4) 引いたくじが全てはずれくじであったとき、もともと赤球を取り出していた確率 $p_4$

1. 問題の内容

箱Aには赤球1個、青球3個、白球6個の合計10個の球が入っている。箱Bには10本のくじが入っており、そのうち当たりくじは2本である。箱Aから球を1個無作為に取り出す。取り出した球が赤球のときは6本、青球のときは3本、白球のときは1本のくじを箱Bから引く。以下の確率を求める。

(1) 赤球を取り出し、かつ当たりくじを引く確率 $p_1$

(2) ちょうど1本当たる確率 $p_2$

(3) 少なくとも1本当たる確率 $p_3$

(4) 引いたくじが全てはずれくじであったとき、もともと赤球を取り出していた確率 $p_4$

2. 解き方の手順

(1) 赤球を取り出す確率は $\frac{1}{10}$。赤球を取り出したときに当たりくじを引く確率は $\frac{6}{10}$。したがって、求める確率は

$p_1 = \frac{1}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$

(2) 箱Aから取り出す球の種類によって場合分けする。

- 赤球を取り出す場合：確率は $\frac{1}{10}$。当たりくじを引く確率は $\frac{6}{10}$。

- 青球を取り出す場合：確率は $\frac{3}{10}$。当たりくじを引く確率は $\frac{3}{10}$。

- 白球を取り出す場合：確率は $\frac{6}{10}$。当たりくじを引く確率は $\frac{1}{10}$。

ちょうど1本当たる確率は、上記の各場合について当たりくじを1本引き、はずれくじを(引くべきなら)引く確率を計算し、それらを足し合わせる。

- 赤球の場合：$\frac{1}{10} \times \frac{6}{10} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$

- 青球の場合：$\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$

- 白球の場合：$\frac{6}{10} \times \frac{1}{10} = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}$

したがって、

$p_2 = \frac{6}{100} + \frac{9}{100} + \frac{6}{100} = \frac{21}{100}$

(3) 少なくとも1本当たる確率は、1 - (全て外れる確率)で求められる。

- 赤球の場合：外れる確率は $\frac{4}{10}$。

- 青球の場合：外れる確率は $\frac{7}{10}$。

- 白球の場合：外れる確率は $\frac{9}{10}$。

全て外れる確率は、

$\frac{1}{10}\times\frac{4}{10} + \frac{3}{10}\times\frac{7}{10} + \frac{6}{10}\times\frac{9}{10} = \frac{4+21+54}{100} = \frac{79}{100}$

したがって、少なくとも1本当たる確率は、

$p_3 = 1 - \frac{79}{100} = \frac{21}{100}$

(4) 引いたくじが全てはずれくじであったとき、赤球を取り出していた確率は、ベイズの定理を用いる。

$P(\text{赤球} | \text{全てハズレ}) = \frac{P(\text{全てハズレ} | \text{赤球}) \times P(\text{赤球})}{P(\text{全てハズレ})}$

$P(\text{全てハズレ} | \text{赤球}) = \frac{4}{10}$

$P(\text{赤球}) = \frac{1}{10}$

$P(\text{全てハズレ}) = \frac{79}{100}$ (上記(3)より)

したがって、

$p_4 = \frac{\frac{4}{10} \times \frac{1}{10}}{\frac{79}{100}} = \frac{\frac{4}{100}}{\frac{79}{100}} = \frac{4}{79}$

3. 最終的な答え

(1) $p_1 = \frac{3}{50}$

(2) $p_2 = \frac{21}{100}$

(3) $p_3 = \frac{21}{100}$

(4) $p_4 = \frac{4}{79}$