変量 $X, Y$ のデータ $(x_i, y_i)$ が与えられている。定数 $a, b, c, d$ ($a \ne 0$, $b \ne 0$)を用いて、新たな変量 $X', Y'$ のデータ $(x'_i, y'_i)$ を $x'_i = ax_i + b$, $y'_i = cy_i + d$ ($i = 1, 2, \dots, n$) で定義する。 (1) $X'$ の分散は、$X$ の分散の何倍になるか。 (2) $X'$ と $Y'$ の共分散は、$X$ と $Y$ の共分散の何倍になるか。 (3) $X'$ と $Y'$ の相関係数は、$X$ と $Y$ の相関係数の何倍になるか。 選択肢の中から適切なものを選ぶ。

1. 問題の内容

変量 $X, Y$ のデータ $(x_i, y_i)$ が与えられている。定数 $a, b, c, d$ ($a \ne 0$, $b \ne 0$)を用いて、新たな変量 $X', Y'$ のデータ $(x'_i, y'_i)$ を $x'_i = ax_i + b$, $y'_i = cy_i + d$ ($i = 1, 2, \dots, n$) で定義する。

(1) $X'$ の分散は、$X$ の分散の何倍になるか。

(2) $X'$ と $Y'$ の共分散は、$X$ と $Y$ の共分散の何倍になるか。

(3) $X'$ と $Y'$ の相関係数は、$X$ と $Y$ の相関係数の何倍になるか。

選択肢の中から適切なものを選ぶ。

2. 解き方の手順

(1) 分散について：

$X' = aX + b$ のとき、$X'$ の分散 $V(X')$ は、

$V(X') = V(aX + b) = a^2 V(X)$

したがって、$X'$ の分散は、$X$ の分散の $a^2$ 倍になる。アの答えは ①。

(2) 共分散について：

$X' = aX + b$, $Y' = cY + d$ のとき、$X'$ と $Y'$ の共分散 $Cov(X', Y')$ は、

$Cov(X', Y') = Cov(aX + b, cY + d) = ac Cov(X, Y)$

したがって、$X'$ と $Y'$ の共分散は、$X$ と $Y$ の共分散の $ac$ 倍になる。イの答えは ②。

(3) 相関係数について：

$X' = aX + b$, $Y' = cY + d$ のとき、$X'$ と $Y'$ の相関係数 $r(X', Y')$ は、

$r(X', Y') = \frac{Cov(X', Y')}{\sqrt{V(X') V(Y')}} = \frac{ac Cov(X, Y)}{\sqrt{a^2 V(X) c^2 V(Y)}} = \frac{ac}{|ac|} \frac{Cov(X, Y)}{\sqrt{V(X) V(Y)}} = \frac{ac}{|ac|} r(X, Y)$

ここで、$r(X, Y)$ は $X$ と $Y$ の相関係数である。したがって、$X'$ と $Y'$ の相関係数は、$X$ と $Y$ の相関係数の $\frac{ac}{|ac|}$ 倍になる。

つまり、$ac > 0$ のとき1倍、$ac < 0$ のとき-1倍になるので、常に$|1|$以下になる。答えは③。

3. 最終的な答え

ア: ① $a^2$

イ: ② $ac$

ウ: ③ $\frac{ac}{|ac|}$