高校生5人、中学生4人の合計9人の生徒がいる。この中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方の数をそれぞれ求めよ。 (1) 高校生2人、中学生2人を選ぶ (2) 少なくとも1人は中学生を選ぶ (3) 高校生を2人以上選ぶ (4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

1. 問題の内容

高校生5人、中学生4人の合計9人の生徒がいる。この中から4人を選ぶとき、以下の条件を満たす選び方の数をそれぞれ求めよ。

(1) 高校生2人、中学生2人を選ぶ

(2) 少なくとも1人は中学生を選ぶ

(3) 高校生を2人以上選ぶ

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる

2. 解き方の手順

(1) 高校生2人、中学生2人を選ぶ場合

高校生5人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_5C_2$ 通り。

中学生4人から2人を選ぶ組み合わせは ${}_4C_2$ 通り。

したがって、選び方の総数は、

${}_5C_2 \times {}_4C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 10 \times 6 = 60$

(2) 少なくとも1人は中学生を選ぶ場合

4人を選ぶすべての組み合わせから、中学生を一人も選ばない組み合わせ（つまり全員高校生を選ぶ組み合わせ）を引けば良い。

4人を選ぶすべての組み合わせは ${}_9C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 通り。

高校生のみ4人を選ぶ組み合わせは ${}_5C_4 = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 5$ 通り。

したがって、少なくとも1人中学生を選ぶ組み合わせは $126 - 5 = 121$ 通り。

(3) 高校生を2人以上選ぶ場合

高校生を2人、3人、4人選ぶ場合の組み合わせをそれぞれ計算して合計する。

高校生2人、中学生2人：${}_5C_2 \times {}_4C_2 = 10 \times 6 = 60$ 通り

高校生3人、中学生1人：${}_5C_3 \times {}_4C_1 = 10 \times 4 = 40$ 通り

高校生4人、中学生0人：${}_5C_4 \times {}_4C_0 = 5 \times 1 = 5$ 通り

合計: $60 + 40 + 5 = 105$ 通り

(4) 特定の2人a, bがともに選ばれる場合

a, bが選ばれているので、残り2人を選ぶ必要がある。

残りの7人（9人 - a - b）から2人を選ぶ組み合わせは ${}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ 通り。

3. 最終的な答え

(1) 60通り

(2) 121通り

(3) 105通り

(4) 21通り