問題1：1つのサイコロを6回投げたとき、1から6のすべての目が出る確率を求めます。ただし、目の出る確率はすべて等しく、出る順番は考慮しません。 問題2：10本のくじの中に3本の当たりくじがあります。Aさんが先にくじを引き、Bさんが2番目にくじを引くとき、AさんとBさんのどちらが当たりくじを引く確率が大きいか答えます。引いたくじは元に戻しません。 問題3：確率変数Xと確率分布P(X)が与えられたとき、Xの期待値E(X)を求めます。

1. 問題の内容

問題1：1つのサイコロを6回投げたとき、1から6のすべての目が出る確率を求めます。ただし、目の出る確率はすべて等しく、出る順番は考慮しません。

問題2：10本のくじの中に3本の当たりくじがあります。Aさんが先にくじを引き、Bさんが2番目にくじを引くとき、AさんとBさんのどちらが当たりくじを引く確率が大きいか答えます。引いたくじは元に戻しません。

問題3：確率変数Xと確率分布P(X)が与えられたとき、Xの期待値E(X)を求めます。

2. 解き方の手順

問題1：

* まず、全事象の数を考えます。これは、6回の試行で1から6の目がどのように出るかの組み合わせなので、$6^6$ となります。

* 次に、1から6のすべての目が出る場合の数を考えます。これは、6つの目を並び替える順列なので、$6!$ となります。

* したがって、確率は $\frac{6!}{6^6}$ です。

$\frac{6!}{6^6} = \frac{720}{46656} = \frac{5}{324}$

問題2：

* Aさんが当たりを引く確率は $\frac{3}{10}$ です。

* Bさんが当たりを引く確率を計算します。Bさんが当たりを引くのは、Aさんが当たりを引いた場合と、Aさんが外れを引いた場合に分けられます。

* Aさんが当たりを引いた場合：Bさんが当たりを引く確率は $\frac{2}{9}$ です。

* Aさんが外れを引いた場合：Bさんが当たりを引く確率は $\frac{3}{9}$ です。

* Bさんが当たりを引く確率の合計は、次のように計算できます。

$\frac{3}{10} \cdot \frac{2}{9} + \frac{7}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{6}{90} + \frac{21}{90} = \frac{27}{90} = \frac{3}{10}$

* AさんとBさんが当たりを引く確率はどちらも $\frac{3}{10}$ で等しいです。

問題3：

* 期待値E(X)は、各Xの値にその確率を掛けたものの合計です。

$E(X) = 1 \cdot \frac{1}{8} + 2 \cdot \frac{1}{4} + 3 \cdot \frac{1}{32} + 4 \cdot \frac{1}{32} + 5 \cdot \frac{1}{2} + 6 \cdot \frac{1}{16}$

$E(X) = \frac{1}{8} + \frac{2}{4} + \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{5}{2} + \frac{6}{16}$

$E(X) = \frac{4}{32} + \frac{16}{32} + \frac{3}{32} + \frac{4}{32} + \frac{80}{32} + \frac{12}{32}$

$E(X) = \frac{4 + 16 + 3 + 4 + 80 + 12}{32} = \frac{119}{32}$

3. 最終的な答え

問題1：$\frac{5}{324}$

問題2：AさんとBさんの当たりくじを引く確率は同じ

問題3：$\frac{119}{32}$