最初の問題は、ある都市における夏の1週間の最高気温のデータが与えられており、8月4日の気温$x$が不明です。このデータの平均値が33℃であるとき、$x$の値を求め、そのときのデータの標準偏差を求める問題です。 2番目の問題は、12人の生徒に対する数学の小テストの得点データがあり、そのうち6人の平均値が6、分散が10であり、残りの6人の平均値が4、分散が6であるとき、この得点データ全体の分散を求める問題です。

1. 問題の内容

最初の問題は、ある都市における夏の1週間の最高気温のデータが与えられており、8月4日の気温$x$が不明です。このデータの平均値が33℃であるとき、$x$の値を求め、そのときのデータの標準偏差を求める問題です。

2番目の問題は、12人の生徒に対する数学の小テストの得点データがあり、そのうち6人の平均値が6、分散が10であり、残りの6人の平均値が4、分散が6であるとき、この得点データ全体の分散を求める問題です。

2. 解き方の手順

**1つ目の問題**

ステップ1: 平均値の式を立てる。

7日間の最高気温の平均値が33℃なので、

$\frac{34 + 31 + 29 + x + 34 + 35 + 34}{7} = 33$

ステップ2: $x$の値を求める。

$34 + 31 + 29 + x + 34 + 35 + 34 = 33 \times 7$

$237 + x = 231$

$x = 231 - 237$

$x = -6$

しかし、気温が負の数になるのは現実的ではないので、問題の設定に誤りがある可能性があります。仮に$x=-6$として計算を進めます。

ステップ3: 分散を求める。

分散 $s^2$ は、各データの平均値からの偏差の二乗の平均です。

$s^2 = \frac{(34-33)^2 + (31-33)^2 + (29-33)^2 + (-6-33)^2 + (34-33)^2 + (35-33)^2 + (34-33)^2}{7}$

$s^2 = \frac{1^2 + (-2)^2 + (-4)^2 + (-39)^2 + 1^2 + 2^2 + 1^2}{7}$

$s^2 = \frac{1 + 4 + 16 + 1521 + 1 + 4 + 1}{7}$

$s^2 = \frac{1548}{7}$

$s^2 \approx 221.14$

ステップ4: 標準偏差を求める。

標準偏差 $s$ は、分散の平方根です。

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1548}{7}} \approx \sqrt{221.14} \approx 14.87$

**2つ目の問題**

ステップ1: 全体の平均値を求める。

6人の平均が6、残りの6人の平均が4なので、全体の平均$\bar{x}$は、

$\bar{x} = \frac{6 \times 6 + 6 \times 4}{12} = \frac{36 + 24}{12} = \frac{60}{12} = 5$

ステップ2: 全体の分散を求める。

全体の分散$S^2$は、

$S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x})^2}{12}$

6人の分散が10なので、

$\frac{\sum_{i=1}^{6} (x_i - 6)^2}{6} = 10$

$\sum_{i=1}^{6} (x_i - 6)^2 = 60$

$\sum_{i=1}^{6} x_i^2 - 12 \sum_{i=1}^{6} x_i + 6 \times 6^2 = 60$

$\sum_{i=1}^{6} x_i^2 - 12(6 \times 6) + 216 = 60$

$\sum_{i=1}^{6} x_i^2 - 432 + 216 = 60$

$\sum_{i=1}^{6} x_i^2 = 276$

同様に、残りの6人の分散が6なので、

$\frac{\sum_{i=7}^{12} (x_i - 4)^2}{6} = 6$

$\sum_{i=7}^{12} (x_i - 4)^2 = 36$

$\sum_{i=7}^{12} x_i^2 - 8 \sum_{i=7}^{12} x_i + 6 \times 4^2 = 36$

$\sum_{i=7}^{12} x_i^2 - 8(6 \times 4) + 96 = 36$

$\sum_{i=7}^{12} x_i^2 - 192 + 96 = 36$

$\sum_{i=7}^{12} x_i^2 = 132$

全体の分散$S^2$は、

$S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{12} x_i^2}{12} - \bar{x}^2$

全体の合計二乗は、

$\sum_{i=1}^{12} x_i^2 = \sum_{i=1}^{6} x_i^2 + \sum_{i=7}^{12} x_i^2 = 276 + 132 = 408$

$S^2 = \frac{408}{12} - 5^2 = 34 - 25 = 9$

別の計算方法：

$S^2 = \frac{6(10 + (6-5)^2) + 6(6 + (4-5)^2)}{12} = \frac{6(10+1) + 6(6+1)}{12} = \frac{6(11) + 6(7)}{12} = \frac{66+42}{12} = \frac{108}{12} = 9$

3. 最終的な答え

最初の問題：$x = -6$, 標準偏差 $\approx 14.87$

2番目の問題：全体の分散 $= 9$