100匹の稚魚の体長を測定した結果、標本平均が93.0mmであった。過去の経験から、稚魚の体長は平均 $μ$、分散 $σ^2$ の正規分布に従う。昨年の母平均は95mmで、母分散は変化せず$σ^2 = 12^2$ であることがわかっている。帰無仮説 $H_0: μ = 95$、対立仮説 $H_1: μ ≠ 95$ を設定し、標本平均 $\bar{X}$ の分布を考える。帰無仮説のもとでの $\bar{X}$ の平均と分散を求める。

1. 問題の内容

100匹の稚魚の体長を測定した結果、標本平均が93.0mmであった。過去の経験から、稚魚の体長は平均 $μ$、分散 $σ^2$ の正規分布に従う。昨年の母平均は95mmで、母分散は変化せず$σ^2 = 12^2$ であることがわかっている。帰無仮説 $H_0: μ = 95$、対立仮説 $H_1: μ ≠ 95$ を設定し、標本平均 $\bar{X}$ の分布を考える。帰無仮説のもとでの $\bar{X}$ の平均と分散を求める。

2. 解き方の手順

* $\bar{X} = \frac{1}{100} \sum_{k=1}^{100} X_k$ と定義する。

* 帰無仮説 $H_0: μ = 95$ のもとでは、$\bar{X}$ の期待値（平均）は母平均 $μ$ に等しいので、$\mu_0 = 95$ となる。

* $\bar{X}$ の分散は、$σ^2_{\bar{X}} = \frac{σ^2}{n}$ で計算できる。問題文より、$σ^2 = 12^2 = 144$ であり、$n = 100$ であるから、$σ^2_{\bar{X}} = \frac{144}{100} = 1.44$ となる。

3. 最終的な答え

$\mu_0 = 95$

$σ^2_0 = 1.44$