4, 3, 7, 6という4つのデータに2つの値を追加した。追加後のデータの平均値は変わらなかったが、分散は4.5だけ増加した。追加された2つの値（小さい順にア、イ）を求める。

1. 問題の内容

4, 3, 7, 6という4つのデータに2つの値を追加した。追加後のデータの平均値は変わらなかったが、分散は4.5だけ増加した。追加された2つの値（小さい順にア、イ）を求める。

2. 解き方の手順

まず、元のデータの平均を計算する。

$平均 = \frac{4+3+7+6}{4} = \frac{20}{4} = 5$

平均が変わらないので、追加した2つの値の合計は、元のデータの合計と同じだけ増加する必要がある。つまり、追加した2つの値の合計は $5 \times 2 = 10$ である。

追加された2つの値を$x$, $y$（$x<y$）とすると、

$x+y = 10$

分散は4.5増加したので、元のデータの分散を計算する。

元のデータの分散は、

$分散 = \frac{(4-5)^2 + (3-5)^2 + (7-5)^2 + (6-5)^2}{4} = \frac{1+4+4+1}{4} = \frac{10}{4} = 2.5$

追加後のデータの分散は、$2.5 + 4.5 = 7$となる。

追加後の分散は、

$\frac{(4-5)^2 + (3-5)^2 + (7-5)^2 + (6-5)^2 + (x-5)^2 + (y-5)^2}{6} = 7$

$(4-5)^2 + (3-5)^2 + (7-5)^2 + (6-5)^2 + (x-5)^2 + (y-5)^2 = 42$

$1 + 4 + 4 + 1 + (x-5)^2 + (y-5)^2 = 42$

$(x-5)^2 + (y-5)^2 = 42 - 10 = 32$

$y = 10 - x$を代入すると、

$(x-5)^2 + (10-x-5)^2 = 32$

$(x-5)^2 + (5-x)^2 = 32$

$2(x-5)^2 = 32$

$(x-5)^2 = 16$

$x-5 = \pm 4$

$x = 5 \pm 4$

$x = 1, 9$

$x < y$なので、

$x = 1$のとき、$y = 10-1 = 9$

$x = 9$のとき、$y = 10-9 = 1$

したがって、$x=1$, $y=9$

3. 最終的な答え

ア: 1

イ: 9