問題は確率に関する3つの部分から構成されています。 (1) 八面体サイコロの確率分布 $P_X(k)$、期待値 $E[X]$、分散 $V(X)$を求める。 (2) 六面体サイコロから得られる確率変数 $Y = 2X - 3$ の確率分布 $P_Y(k)$、期待値 $E[Y]$、分散 $V(Y)$ を求める。 (3) 同時確率分布に従う確率変数 $X$ と $Y$ について、周辺確率分布 $P_X$, $P_Y$、期待値 $E[X]$, $E[Y]$, $E[X+Y]$、 $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表を求め、$X$ と $Y$、そして $X^2$ と $Y^2$ がそれぞれ独立かどうかを判断する。

1. 問題の内容

問題は確率に関する3つの部分から構成されています。

(1) 八面体サイコロの確率分布 $P_X(k)$、期待値 $E[X]$、分散 $V(X)$を求める。

(2) 六面体サイコロから得られる確率変数 $Y = 2X - 3$ の確率分布 $P_Y(k)$、期待値 $E[Y]$、分散 $V(Y)$ を求める。

(3) 同時確率分布に従う確率変数 $X$ と $Y$ について、周辺確率分布 $P_X$, $P_Y$、期待値 $E[X]$, $E[Y]$, $E[X+Y]$、 $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表を求め、$X$ と $Y$、そして $X^2$ と $Y^2$ がそれぞれ独立かどうかを判断する。

2. 解き方の手順

(1) 八面体サイコロ

八面体サイコロの各目は等確率 $1/8$ で出る。

$P_X(k) = 1/8$ ($k = 1, 2, ..., 8$)

期待値 $E[X] = \sum_{k=1}^8 k \cdot P_X(k) = \sum_{k=1}^8 k \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$

分散 $V[X] = E[X^2] - (E[X])^2$

$E[X^2] = \sum_{k=1}^8 k^2 \cdot P_X(k) = \sum_{k=1}^8 k^2 \cdot \frac{1}{8} = \frac{1}{8} \cdot \frac{8 \cdot 9 \cdot 17}{6} = \frac{51}{2} = 25.5$

$V[X] = 25.5 - (4.5)^2 = 25.5 - 20.25 = 5.25$

(2) 六面体サイコロと $Y = 2X - 3$

六面体サイコロの各目は等確率 $1/6$ で出る。

$P_X(k) = 1/6$ ($k = 1, 2, ..., 6$)

$Y = 2X - 3$ の取りうる値は $Y = -1, 1, 3, 5, 7, 9$

$P_Y(-1) = P(X=1) = 1/6$

$P_Y(1) = P(X=2) = 1/6$

$P_Y(3) = P(X=3) = 1/6$

$P_Y(5) = P(X=4) = 1/6$

$P_Y(7) = P(X=5) = 1/6$

$P_Y(9) = P(X=6) = 1/6$

$E[Y] = \sum_{y} y \cdot P_Y(y) = \frac{1}{6}(-1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 9) = \frac{24}{6} = 4$

$E[Y^2] = \sum_{y} y^2 \cdot P_Y(y) = \frac{1}{6}(1 + 1 + 9 + 25 + 49 + 81) = \frac{166}{6} = \frac{83}{3}$

$V[Y] = E[Y^2] - (E[Y])^2 = \frac{83}{3} - 4^2 = \frac{83}{3} - \frac{48}{3} = \frac{35}{3}$

(3) 同時確率分布

(a) 周辺確率分布

$P_X(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{1}{32} = \frac{9}{32}$

$P_X(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_X(1) = \frac{3}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{7}{32}$

$P_Y(-1) = \frac{3}{32} + \frac{5}{32} + \frac{3}{32} = \frac{11}{32}$

$P_Y(0) = \frac{5}{32} + \frac{8}{32} + \frac{3}{32} = \frac{16}{32} = \frac{1}{2}$

$P_Y(1) = \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{5}{32}$

(b) 期待値

$E[X] = (-1)\cdot\frac{9}{32} + 0\cdot\frac{1}{2} + 1\cdot\frac{7}{32} = -\frac{9}{32} + \frac{7}{32} = -\frac{2}{32} = -\frac{1}{16}$

$E[Y] = (-1)\cdot\frac{11}{32} + 0\cdot\frac{1}{2} + 1\cdot\frac{5}{32} = -\frac{11}{32} + \frac{5}{32} = -\frac{6}{32} = -\frac{3}{16}$

$E[X+Y] = E[X] + E[Y] = -\frac{1}{16} - \frac{3}{16} = -\frac{4}{16} = -\frac{1}{4}$

(c) $X^2$ と $Y^2$ の同時確率分布表

$X^2$ の取りうる値は 0, 1

$Y^2$ の取りうる値は 0, 1

$$$$

\begin{array}{c|cc}

X^2 \backslash Y^2 & 1 & 0 \\

\hline

1 & \frac{3}{32}+\frac{1}{32} + \frac{3}{32}+\frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4} & \frac{5}{32}+\frac{3}{32} = \frac{8}{32}=\frac{1}{4} \\

0 & \frac{8}{32} = \frac{1}{4} & \frac{5}{32} = \frac{5}{32}

\end{array}

$$$$

(d) $X$ と $Y$ は独立か？

$P(X=-1, Y=-1) = \frac{3}{32}$

$P(X=-1) = \frac{9}{32}$, $P(Y=-1) = \frac{11}{32}$

$P(X=-1)P(Y=-1) = \frac{9}{32} \cdot \frac{11}{32} = \frac{99}{1024} \ne \frac{3}{32} = \frac{96}{1024}$

$X$ と $Y$ は独立ではない。

(e) $X^2$ と $Y^2$ は独立か？

$X^2$の周辺分布：$P(X^2=0) = P(X=0) = \frac{1}{2}$, $P(X^2=1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$Y^2$の周辺分布：$P(Y^2=0) = P(Y=0) = \frac{1}{2}$, $P(Y^2=1)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

$P(X^2=0, Y^2=0) = P(X=0, Y=0)=\frac{8}{32}=\frac{1}{4}$

$P(X^2=0)P(Y^2=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=0) = P(X=\pm1, Y=0)=0$

$P(X^2=1)P(Y^2=0) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$P(X^2=0, Y^2=1) = P(X=0, Y=\pm1)=0$

$P(X^2=0)P(Y^2=1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

$P(X^2=1, Y^2=1) = P(X=\pm1, Y=\pm1) = P(X=-1,Y=-1) + P(X=-1,Y=1) + P(X=1,Y=-1) + P(X=1,Y=1) = \frac{3}{32} + \frac{1}{32} + \frac{3}{32} + \frac{1}{32} = \frac{8}{32} = \frac{1}{4}$

$P(X^2=1)P(Y^2=1) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

よって、$X^2$ と $Y^2$ は独立。

3. 最終的な答え

(1) $P_X(k) = 1/8$ ($k = 1, 2, ..., 8$), $E[X] = 4.5$, $V[X] = 5.25$

(2) $P_Y(k) = 1/6$ ($k = -1, 1, 3, 5, 7, 9$), $E[Y] = 4$, $V[Y] = \frac{35}{3}$

(3)

(a) $P_X(-1) = \frac{9}{32}$, $P_X(0) = \frac{1}{2}$, $P_X(1) = \frac{7}{32}$, $P_Y(-1) = \frac{11}{32}$, $P_Y(0) = \frac{1}{2}$, $P_Y(1) = \frac{5}{32}$

(b) $E[X] = -\frac{1}{16}$, $E[Y] = -\frac{3}{16}$, $E[X+Y] = -\frac{1}{4}$

(c)

$$$$

\begin{array}{c|cc}

X^2 \backslash Y^2 & 1 & 0 \\

\hline

1 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \\

0 & \frac{1}{4} & \frac{5}{32}

\end{array}

$$$$

(d) $X$ と $Y$ は独立ではない。

(e) $X^2$ と $Y^2$ は独立。