円と四角形が一部重なって描かれた絵に小石を落とす状況を考える。小石が円の中に落ちる事象を$A$、四角形の中に落ちる事象を$B$、小石の落ちたところが着色されている事象を$C$とする。 (1) 与えられた条件付き確率を、事象$A$, $B$, $C$を用いて表現する。 (2) $P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$のとき、$P(C|A \cap B^c)$を求める。 (3) $P(C|B \cap A^c) = \frac{25}{42}$のとき、$P(A|B)$を求める。 (4) $P(C|A \cup B)$を求める。

1. 問題の内容

円と四角形が一部重なって描かれた絵に小石を落とす状況を考える。小石が円の中に落ちる事象を$A$、四角形の中に落ちる事象を$B$、小石の落ちたところが着色されている事象を$C$とする。

(1) 与えられた条件付き確率を、事象$A$, $B$, $C$を用いて表現する。

(2) $P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$のとき、$P(C|A \cap B^c)$を求める。

(3) $P(C|B \cap A^c) = \frac{25}{42}$のとき、$P(A|B)$を求める。

(4) $P(C|A \cup B)$を求める。

2. 解き方の手順

(1) 条件付き確率の定義より、以下のようになる。

* (i) $P(C|A) = \frac{3}{7}$

* (ii) $P(C|B) = \frac{4}{7}$

* (iii) $P(C|A \cap B) = \frac{3}{7}$

(2) $P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$が与えられている。求めるべきは$P(C|A \cap B^c)$である。

$P(C|A \cap B^c) = \frac{P(C \cap A \cap B^c)}{P(A \cap B^c)}$である。

$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$なので、$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$。

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$より、$P(A \cap B) = P(B|A)P(A) = \frac{\sqrt{2}}{9} P(A)$

$P(A \cap B^c) = P(A) - \frac{\sqrt{2}}{9}P(A) = (1-\frac{\sqrt{2}}{9})P(A)$

また、$P(C|A) = \frac{P(C \cap A)}{P(A)} = \frac{3}{7}$より、$P(C \cap A) = \frac{3}{7}P(A)$

$P(C \cap A) = P(C \cap A \cap B) + P(C \cap A \cap B^c)$

$P(C|A \cap B) = \frac{P(C \cap A \cap B)}{P(A \cap B)} = \frac{3}{7}$より、$P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B) = \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{2}}{9} P(A) = \frac{\sqrt{2}}{21}P(A)$

よって、$P(C \cap A \cap B^c) = P(C \cap A) - P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A) - \frac{\sqrt{2}}{21}P(A) = (\frac{9-\sqrt{2}}{21})P(A)$

$P(C|A \cap B^c) = \frac{P(C \cap A \cap B^c)}{P(A \cap B^c)} = \frac{(\frac{9-\sqrt{2}}{21})P(A)}{(1-\frac{\sqrt{2}}{9})P(A)} = \frac{9-\sqrt{2}}{21} \cdot \frac{9}{9-\sqrt{2}} = \frac{9}{21} = \frac{3}{7}$

(3) $P(C|B \cap A^c) = \frac{25}{42}$が与えられている。求めるべきは$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$である。

$P(C|B) = \frac{P(C \cap B)}{P(B)} = \frac{4}{7}$より、$P(C \cap B) = \frac{4}{7}P(B)$

$P(C \cap B) = P(C \cap B \cap A) + P(C \cap B \cap A^c)$

$P(C|A \cap B) = \frac{3}{7} = \frac{P(C \cap A \cap B)}{P(A \cap B)}$より、$P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7} P(A \cap B)$

$P(C|B \cap A^c) = \frac{P(C \cap B \cap A^c)}{P(B \cap A^c)} = \frac{25}{42}$より、$P(C \cap B \cap A^c) = \frac{25}{42} P(B \cap A^c)$

$P(C \cap B) = \frac{3}{7} P(A \cap B) + \frac{25}{42}P(B \cap A^c)$

$\frac{4}{7}P(B) = \frac{3}{7} P(A \cap B) + \frac{25}{42}(P(B)-P(A \cap B))$

$\frac{4}{7}P(B) = \frac{3}{7} P(A \cap B) + \frac{25}{42}P(B)-\frac{25}{42}P(A \cap B)$

$(\frac{4}{7}-\frac{25}{42})P(B) = (\frac{3}{7} - \frac{25}{42})P(A \cap B)$

$(\frac{24-25}{42})P(B) = (\frac{18-25}{42})P(A \cap B)$

$-\frac{1}{42} P(B) = -\frac{7}{42}P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = \frac{1}{7}P(B)$

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{7}P(B)}{P(B)} = \frac{1}{7}$

(4) 求めるべきは$P(C|A \cup B) = \frac{P(C \cap (A \cup B))}{P(A \cup B)} = \frac{P((C \cap A) \cup (C \cap B))}{P(A \cup B)}$

$P((C \cap A) \cup (C \cap B)) = P(C \cap A) + P(C \cap B) - P(C \cap A \cap B)$

$P(C|A) = \frac{3}{7} = \frac{P(C \cap A)}{P(A)}$より、$P(C \cap A) = \frac{3}{7}P(A)$

$P(C|B) = \frac{4}{7} = \frac{P(C \cap B)}{P(B)}$より、$P(C \cap B) = \frac{4}{7}P(B)$

$P(C|A \cap B) = \frac{3}{7} = \frac{P(C \cap A \cap B)}{P(A \cap B)}$より、$P(C \cap A \cap B) = \frac{3}{7}P(A \cap B)$

$P(A \cap B) = \frac{1}{7}P(B)$ (3)の結果より。

$P((C \cap A) \cup (C \cap B)) = \frac{3}{7}P(A) + \frac{4}{7}P(B) - \frac{3}{7}(\frac{1}{7}P(B)) = \frac{3}{7}P(A) + \frac{4}{7}P(B) - \frac{3}{49}P(B) = \frac{3}{7}P(A) + \frac{25}{49}P(B)$

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - \frac{1}{7}P(B) = P(A) + \frac{6}{7}P(B)$

$P(C|A \cup B) = \frac{\frac{3}{7}P(A) + \frac{25}{49}P(B)}{P(A)+\frac{6}{7}P(B)}$

$P(B|A) = \frac{\sqrt{2}}{9}$ and $P(A|B) = \frac{1}{7}$, $P(A \cap B) = \frac{1}{7}P(B) = P(B|A)P(A) = \frac{\sqrt{2}}{9}P(A)$

$P(B) = \frac{7\sqrt{2}}{9}P(A)$, $P(C|A \cup B) = \frac{\frac{3}{7}P(A) + \frac{25}{49} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{9}P(A)}{P(A) + \frac{6}{7} \cdot \frac{7\sqrt{2}}{9}P(A)}$

$P(C|A \cup B) = \frac{\frac{3}{7} + \frac{25}{63} \sqrt{2}}{1+\frac{2}{3} \sqrt{2}} = \frac{\frac{27+25\sqrt{2}}{63}}{\frac{3+2\sqrt{2}}{3}} = \frac{27+25\sqrt{2}}{63} \cdot \frac{3}{3+2\sqrt{2}} = \frac{27+25\sqrt{2}}{21(3+2\sqrt{2})}$

$= \frac{(27+25\sqrt{2})(3-2\sqrt{2})}{21(9-8)} = \frac{81 - 54\sqrt{2} + 75\sqrt{2} - 100}{21} = \frac{-19+21\sqrt{2}}{21}$

3. 最終的な答え

(1) $P(C|A) = \frac{3}{7}$, $P(C|B) = \frac{4}{7}$, $P(C|A \cap B) = \frac{3}{7}$

(2) $P(C|A \cap B^c) = \frac{3}{7}$

(3) $P(A|B) = \frac{1}{7}$

(4) $P(C|A \cup B) = \frac{-19+21\sqrt{2}}{21}$