多項式 $P = (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)$ がある。 (i) $P = (x^2 - 6x + a)(x^2 - 6x + b)$ と変形するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < b$ とする。 (ii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 6x + 7$ の値を求めよ。 (iii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$P$ の値を求めよ。

はい、承知いたしました。それでは問題を解いていきます。

1. 問題の内容

多項式 $P = (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)$ がある。

(i) $P = (x^2 - 6x + a)(x^2 - 6x + b)$ と変形するとき、定数 $a, b$ の値を求めよ。ただし、$a < b$ とする。

(ii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 6x + 7$ の値を求めよ。

(iii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$P$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(i) $P = (x-1)(x-2)(x-4)(x-5)$ を展開し、$(x^2 - 6x + a)(x^2 - 6x + b)$ の形に整理します。

まず、$P = (x-1)(x-5)(x-2)(x-4) = (x^2 - 6x + 5)(x^2 - 6x + 8)$ と変形できます。

よって、$a = 5$, $b = 8$ となります。条件 $a < b$ を満たしています。

(ii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$x^2 - 6x + 7$ の値を求めます。

$x^2 - 6x + 7 = (x^2 - 6x + 9) - 2 = (x - 3)^2 - 2$

$x = 3 + \sqrt{2}$ より、$x - 3 = \sqrt{2}$ なので、

$(x - 3)^2 - 2 = (\sqrt{2})^2 - 2 = 2 - 2 = 0$

(iii) $x = 3 + \sqrt{2}$ のとき、$P$ の値を求めます。

(i)より、$P = (x^2 - 6x + 5)(x^2 - 6x + 8)$ です。

(ii)より、$x^2 - 6x + 7 = 0$ なので、$x^2 - 6x = -7$ です。

$x^2 - 6x + 5 = -7 + 5 = -2$

$x^2 - 6x + 8 = -7 + 8 = 1$

よって、$P = (x^2 - 6x + 5)(x^2 - 6x + 8) = (-2)(1) = -2$

3. 最終的な答え

(i) $a = 5, b = 8$

(ii) $x^2 - 6x + 7 = 0$

(iii) $P = -2$