(1) 不等式 $ax - a^2 > 2x - 4$ を解く。ただし、$a$ は定数とする。 (2) $x$ の不等式 $ax + 2 > 2a + 3$ の解が $x < -2$ のとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 不等式 $ax - a^2 > 2x - 4$ を解く。ただし、$a$ は定数とする。

(2) $x$ の不等式 $ax + 2 > 2a + 3$ の解が $x < -2$ のとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$ax - a^2 > 2x - 4$ を変形して、$x$ について解くことを目指します。

$ax - 2x > a^2 - 4$

$(a - 2)x > a^2 - 4$

$(a - 2)x > (a - 2)(a + 2)$

ここで、$a-2$ の符号によって場合分けが必要です。

* $a - 2 > 0$ つまり $a > 2$ のとき：

$x > a + 2$

* $a - 2 < 0$ つまり $a < 2$ のとき：

$x < a + 2$

* $a - 2 = 0$ つまり $a = 2$ のとき：

$0 \cdot x > 0$ となり、この不等式を満たす $x$ は存在しないため、解なし。

(2)

不等式 $ax + 2 > 2a + 3$ を変形します。

$ax > 2a + 1$

$a$ の符号によって場合分けが必要です。$x<-2$ となる条件から $a$の符号を検討します。

* $a>0$ のとき

$x>\frac{2a+1}{a}$

しかし、$x < -2$ であるべきなので、これは矛盾します。よって $a>0$ は不適です。

* $a<0$ のとき

$x < \frac{2a+1}{a}$

条件より$\frac{2a+1}{a} = -2$となるはずなので、この方程式を解きます。

$2a+1 = -2a$

$4a = -1$

$a = -\frac{1}{4}$

これは $a<0$ の条件を満たします。

* $a=0$のとき

$2>3$ となり、これは常に不成立であるため解なし。条件を満たしません。

3. 最終的な答え

(1)

* $a > 2$ のとき： $x > a + 2$

* $a < 2$ のとき： $x < a + 2$

* $a = 2$ のとき： 解なし

(2)

$a = -\frac{1}{4}$