与えられた3次方程式 $4k^3 - 4k^2 - 4k + 1 = 0$ の解 $k$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3次方程式 $4k^3 - 4k^2 - 4k + 1 = 0$ の解 $k$ を求めます。

2. 解き方の手順

この3次方程式は、三角関数の3倍角の公式と関連があることに気づきます。具体的には、$k = \cos \theta$ とおくと、与えられた方程式は

$4\cos^3 \theta - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta + 1 = 0$

となります。ここで、$2\cos \theta = x$ とおくと、$\cos \theta = \frac{x}{2}$ となり、方程式は

$4(\frac{x}{2})^3 - 4(\frac{x}{2})^2 - 4(\frac{x}{2}) + 1 = 0$

$\frac{x^3}{2} - x^2 - 2x + 1 = 0$

$x^3 - 2x^2 - 4x + 2 = 0$

となります。元の3次方程式を $4k^3 - 3k = \cos 3\theta$ の形に変形することを試みます。

$4k^3 - 4k^2 - 4k + 1 = 0$ を $k$ で割ると、$4k^2 - 4k - 4 + \frac{1}{k} = 0$ となります。

$k = \cos \theta$ を元の式に代入してみます。

$4\cos^3 \theta - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta + 1 = 0$

ここで、$\cos 3\theta = 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta$ を用いることを考えます。

$4\cos^3 \theta - 3\cos \theta = \cos 3\theta$ より、 $4\cos^3 \theta = \cos 3\theta + 3\cos \theta$ となります。これを代入すると、

$\cos 3\theta + 3\cos \theta - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta + 1 = 0$

$\cos 3\theta - \cos \theta - 4\cos^2 \theta + 1 = 0$

別の方法を試します。$\cos 3\theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ を用いると、$4\cos^3 \theta = 3\cos \theta + \cos 3\theta$

元の式に代入して整理すると、

$4\cos^3 \theta - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta + 1 = 0$

$3\cos \theta + \cos 3\theta - 4\cos^2 \theta - 4\cos \theta + 1 = 0$

$\cos 3\theta - 4\cos^2 \theta - \cos \theta + 1 = 0$

ここで、$k = \cos \theta$ と置く代わりに、$k = \cos(\theta)$ として、$\cos(3\theta) = -1/2$ を満たす$\theta$ を探します。

$3\theta = \frac{2\pi}{3} + 2n\pi, \frac{4\pi}{3} + 2n\pi$ ($n$ は整数)

$\theta = \frac{2\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}, \frac{4\pi}{9} + \frac{2n\pi}{3}$

したがって、$k = \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, \cos \frac{8\pi}{9}$ が解となります。

3. 最終的な答え

$k = \cos \frac{2\pi}{9}, \cos \frac{4\pi}{9}, \cos \frac{8\pi}{9}$