0と1の2つの数字を使って長さ$n$の記号をいくつか作りたい。125個以上の記号を作るためには、$n$は最低いくつにする必要があるか。

## 問題5

1. 問題の内容

0と1の2つの数字を使って長さ$n$の記号をいくつか作りたい。125個以上の記号を作るためには、$n$は最低いくつにする必要があるか。

2. 解き方の手順

長さ$n$の記号は、$2^n$個作ることができる。なぜなら、各桁に0または1の2通りの選択肢があるからである。

したがって、

$2^n \ge 125$

を満たす最小の$n$を求める。

$2^6 = 64$

$2^7 = 128$

なので、

$n = 7$

3. 最終的な答え

7

## 問題6 (1)

1. 問題の内容

1, 2, 3の数字を重複を許して5つ並べて5桁の数を作る。この数をnとする。nの各位を万の位から順にa, b, c, d, eとするとき、$b=1$かつ$d \ne 1$を満たすnの個数を求めよ。

2. 解き方の手順

万の位(a)は1, 2, 3のどれでもよい。

千の位(b)は1に固定されている。

百の位(c)は1, 2, 3のどれでもよい。

十の位(d)は1以外なので、2または3のどちらか。

一の位(e)は1, 2, 3のどれでもよい。

したがって、nの個数は

$3 \times 1 \times 3 \times 2 \times 3 = 54$

3. 最終的な答え

54

## 問題6 (2)

1. 問題の内容

1, 2, 3の数字を重複を許して5つ並べて5桁の数を作る。この数をnとする。nの各位を万の位から順にa, b, c, d, eとするとき、$a \ge b \ge c \ge d \ge e$を満たすnの個数を求めよ。

2. 解き方の手順

これは1, 2, 3の中から重複を許して5個選ぶ組み合わせの数と考えることができる。具体的には、

$x_1 + x_2 + x_3 = 5$

を満たす非負整数解の個数を求める問題と等価である。

ここで、$x_1$は1の個数、$x_2$は2の個数、$x_3$は3の個数を表す。

これは、3種類のものから重複を許して5個選ぶ組み合わせなので、

${}_{3+5-1}C_{5} = {}_7C_5 = {}_7C_2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$

3. 最終的な答え

21