方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間$(0, 1)$において実数解を持つことを示せ。

1. 問題の内容

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ が、開区間$(0, 1)$において実数解を持つことを示せ。

2. 解き方の手順

中間値の定理を用いて証明します。

関数 $f(x) = (x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1$ を考えます。

$f(x)$は連続関数であるため、中間値の定理が適用できます。

区間$(0, 1)$において、$f(0)$と$f(1)$の符号が異なることを示せば、$(0, 1)$の間に$f(x) = 0$となる実数解が存在することが証明できます。

まず、$f(0)$を計算します。

$f(0) = (0^2 - 1)\cos 0 + \sqrt{2}\sin 0 - 1 = (-1)(1) + \sqrt{2}(0) - 1 = -1 - 1 = -2$

次に、$f(1)$を計算します。

$f(1) = (1^2 - 1)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = (0)\cos 1 + \sqrt{2}\sin 1 - 1 = \sqrt{2}\sin 1 - 1$

$\sin 1$は、1ラジアンでのサインの値です。1ラジアンは約57.3度なので、$\sin 1 > \sin (\pi/6) = 1/2$ であることがわかります。

したがって、

$\sqrt{2} \sin 1 > \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$

従って、$f(1) = \sqrt{2} \sin 1 - 1 > 0$となる可能性がある。

$f(1) = \sqrt{2}\sin(1) - 1$ の符号を厳密に示すため、$\sin(1)$ の近似値を調べます。 $\sin(1) \approx 0.84147$

$f(1) \approx \sqrt{2} \cdot 0.84147 - 1 \approx 1.4142 \cdot 0.84147 - 1 \approx 1.1892 - 1 \approx 0.1892 > 0$

$f(0) = -2 < 0$ であり、$f(1) > 0$ であるため、$f(0)$と$f(1)$の符号が異なります。

したがって、中間値の定理より、開区間$(0, 1)$において$f(x) = 0$となる実数解が存在します。

3. 最終的な答え

方程式 $(x^2 - 1)\cos x + \sqrt{2}\sin x - 1 = 0$ は、開区間 $(0, 1)$ において実数解を持つ。