関数 $y = -x^2 + 2x$ ($x \le 1$) と $x$軸、および直線 $x=-1$ と $x=1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^2 + 2x$ ($x \le 1$) と $x$軸、および直線 $x=-1$ と $x=1$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数と $x$ 軸との交点を求めます。

$y = -x^2 + 2x = 0$ を解くと、

$-x(x-2) = 0$ より、$x=0$ または $x=2$ となります。

ここで、$x \le 1$ という条件があるので、$x=2$ は範囲外です。したがって、$x=0$ が交点となります。

次に、積分区間を考慮し、$-1 \le x \le 1$ における $-x^2 + 2x$ の符号を調べます。

$x=-1$ のとき、$y = -(-1)^2 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$

$x=0$ のとき、$y=0$

$x=1$ のとき、$y = -1^2 + 2(1) = -1 + 2 = 1$

$x$軸より下にある部分の面積は積分の値にマイナスをかけたものになり、$x$軸より上にある部分の面積は積分の値がそのまま面積になります。

面積 $S$ は、

$$S = \int_{-1}^1 |-x^2 + 2x| dx$$

と表されます。

$x$が$-1$から$0$までは、$y$は負の値をとります。

$x$が$0$から$1$までは、$y$は正の値をとります。

したがって、面積は次のように計算できます。

$$S = \int_{-1}^0 -(-x^2 + 2x) dx + \int_0^1 (-x^2 + 2x) dx$$

$$S = \int_{-1}^0 (x^2 - 2x) dx + \int_0^1 (-x^2 + 2x) dx$$

それぞれの積分を計算します。

$$\int_{-1}^0 (x^2 - 2x) dx = \left[ \frac{1}{3}x^3 - x^2 \right]_{-1}^0 = 0 - \left( \frac{1}{3}(-1)^3 - (-1)^2 \right) = 0 - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}$$

$$\int_0^1 (-x^2 + 2x) dx = \left[ -\frac{1}{3}x^3 + x^2 \right]_0^1 = \left( -\frac{1}{3}(1)^3 + (1)^2 \right) - 0 = -\frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3}$$

したがって、面積 $S$ は

$$S = \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = \frac{6}{3} = 2$$

3. 最終的な答え

面積Sは2です。