$\tanh^{-1}(x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x})$ を利用して計算します。

1. 問題の内容

$\tanh^{-1}(x)$ の導関数を求める問題です。ただし、$\tanh^{-1}(x) = \frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x})$ を利用して計算します。

2. 解き方の手順

$\tanh^{-1}(x)$ を $\frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x})$ で置き換えます。

次に、$\frac{1}{2}\log(\frac{1+x}{1-x})$ を微分します。

$\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)$

$\frac{1}{2}$ は定数なので、微分の外に出します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{dx}\left(\log\left(\frac{1+x}{1-x}\right)\right)$

対数の性質を利用して、$\log(\frac{1+x}{1-x}) = \log(1+x) - \log(1-x)$ と変形します。

$\frac{1}{2} \frac{d}{dx} (\log(1+x) - \log(1-x))$

微分を分配します。

$\frac{1}{2} \left( \frac{d}{dx} \log(1+x) - \frac{d}{dx} \log(1-x) \right)$

$\log$ の微分 $\frac{d}{dx} \log(u) = \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$ を用います。

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} \frac{d}{dx} (1+x) - \frac{1}{1-x} \frac{d}{dx} (1-x) \right)$

$\frac{d}{dx} (1+x) = 1$ と $\frac{d}{dx} (1-x) = -1$ を代入します。

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} (1) - \frac{1}{1-x} (-1) \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right)$

通分します。

$\frac{1}{2} \left( \frac{1-x}{(1+x)(1-x)} + \frac{1+x}{(1+x)(1-x)} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} \right)$

$\frac{1}{2} \left( \frac{2}{1-x^2} \right)$

$\frac{1}{1-x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{1-x^2}$