与えられた式を展開する問題です。具体的には、 (1) $(x-3)^2(x+3)^2$ (3) $(3x-y)^2(3x+y)^2$ (5) $(a-b)(a^2+b^2)(a+b)$ の3つの式を展開します。

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。具体的には、

(1) $(x-3)^2(x+3)^2$

(3) $(3x-y)^2(3x+y)^2$

(5) $(a-b)(a^2+b^2)(a+b)$

の3つの式を展開します。

2. 解き方の手順

(1) $(x-3)^2(x+3)^2$ の展開

まず、$(x-3)(x+3)$ を計算します。これは和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用できます。

$(x-3)(x+3) = x^2 - 3^2 = x^2 - 9$

したがって、

$(x-3)^2(x+3)^2 = [(x-3)(x+3)]^2 = (x^2-9)^2$

ここで、二項の平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用します。

$(x^2-9)^2 = (x^2)^2 - 2(x^2)(9) + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$

(3) $(3x-y)^2(3x+y)^2$ の展開

(1)と同様に、まず$(3x-y)(3x+y)$を計算します。

$(3x-y)(3x+y) = (3x)^2 - y^2 = 9x^2 - y^2$

したがって、

$(3x-y)^2(3x+y)^2 = [(3x-y)(3x+y)]^2 = (9x^2 - y^2)^2$

ここで、二項の平方の公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ を利用します。

$(9x^2 - y^2)^2 = (9x^2)^2 - 2(9x^2)(y^2) + (y^2)^2 = 81x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

(5) $(a-b)(a^2+b^2)(a+b)$ の展開

まず、$(a-b)(a+b)$を計算します。

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

したがって、

$(a-b)(a^2+b^2)(a+b) = (a^2-b^2)(a^2+b^2)$

ここで、再び和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用します。

$(a^2-b^2)(a^2+b^2) = (a^2)^2 - (b^2)^2 = a^4 - b^4$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 18x^2 + 81$

(3) $81x^4 - 18x^2y^2 + y^4$

(5) $a^4 - b^4$