ベクトル $\vec{a} = (5, -2)$、$\vec{b} = (-2, 3)$ が与えられたとき、次のベクトルを $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形式で表す問題です。 (1) $\vec{c} = (1, 4)$ (2) $\vec{d} = (12, -7)$

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (5, -2)$、$\vec{b} = (-2, 3)$ が与えられたとき、次のベクトルを $\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ の形式で表す問題です。

(1) $\vec{c} = (1, 4)$

(2) $\vec{d} = (12, -7)$

2. 解き方の手順

(1) $\vec{c} = (1, 4)$ の場合:

$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ は、

$(1, 4) = m(5, -2) + n(-2, 3)$

と表せる。これを成分ごとに分解すると、次の連立方程式が得られます。

$5m - 2n = 1$

$-2m + 3n = 4$

この連立方程式を解きます。一つ目の式を2倍、二つ目の式を5倍すると、

$10m - 4n = 2$

$-10m + 15n = 20$

これらの式を足し合わせると、

$11n = 22$

$n = 2$

$n=2$を $5m - 2n = 1$ に代入すると、

$5m - 2(2) = 1$

$5m - 4 = 1$

$5m = 5$

$m = 1$

したがって、$\vec{c} = (1, 4) = 1\vec{a} + 2\vec{b}$ と表せます。

(2) $\vec{d} = (12, -7)$ の場合:

$\vec{d} = m\vec{a} + n\vec{b}$ は、

$(12, -7) = m(5, -2) + n(-2, 3)$

と表せる。これを成分ごとに分解すると、次の連立方程式が得られます。

$5m - 2n = 12$

$-2m + 3n = -7$

この連立方程式を解きます。一つ目の式を3倍、二つ目の式を2倍すると、

$15m - 6n = 36$

$-4m + 6n = -14$

これらの式を足し合わせると、

$11m = 22$

$m = 2$

$m=2$を $5m - 2n = 12$ に代入すると、

$5(2) - 2n = 12$

$10 - 2n = 12$

$-2n = 2$

$n = -1$

したがって、$\vec{d} = (12, -7) = 2\vec{a} - 1\vec{b}$ と表せます。

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$

(2) $\vec{d} = 2\vec{a} - \vec{b}$