問題48：初項から第6項までの和が3、初項から第12項までの和が9である等比数列において、初項から第18項までの和を求めよ。 問題49：初項1、公比3である等比数列 $ \{a_n\} $ について、 (1) 初めて100より大きくなるのは第何項か。 (2) 初項から第何項までの和が初めて1000より大きくなるか。

1. 問題の内容

問題48：初項から第6項までの和が3、初項から第12項までの和が9である等比数列において、初項から第18項までの和を求めよ。

問題49：初項1、公比3である等比数列 $\{a_n\}$ について、

(1) 初めて100より大きくなるのは第何項か。

(2) 初項から第何項までの和が初めて1000より大きくなるか。

2. 解き方の手順

問題48：

等比数列の初項を$a$、公比を$r$とすると、初項から第$n$項までの和 $S_n$ は $S_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}$ で表される。

問題文より、

$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = 3$

$S_{12} = \frac{a(1-r^{12})}{1-r} = 9$

$S_{12} = \frac{a(1-(r^6)^2)}{1-r} = \frac{a(1-r^6)(1+r^6)}{1-r} = S_6(1+r^6) = 3(1+r^6) = 9$

$1+r^6 = 3$

$r^6 = 2$

求める和は $S_{18} = \frac{a(1-r^{18})}{1-r} = \frac{a(1-(r^6)^3)}{1-r} = \frac{a(1-2^3)}{1-r} = \frac{a(1-8)}{1-r} = \frac{-7a}{1-r}$

ここで、$S_6 = \frac{a(1-r^6)}{1-r} = \frac{a(1-2)}{1-r} = \frac{-a}{1-r} = 3$ より $\frac{a}{1-r} = -3$

$S_{18} = -7 \times \frac{a}{1-r} = -7 \times (-3) = 21$

問題49：

(1) $a_n = a r^{n-1}$ より、$a_n = 1 \times 3^{n-1} = 3^{n-1}$

$3^{n-1} > 100$ となる最小の$n$を求める。

$3^4 = 81$, $3^5 = 243$ なので、$n-1 = 5$ であれば $3^{n-1} > 100$ となる。したがって$n=5+1=6$

(2) $S_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1} = \frac{1(3^n-1)}{3-1} = \frac{3^n-1}{2}$

$S_n > 1000$ より $\frac{3^n-1}{2} > 1000$

$3^n - 1 > 2000$

$3^n > 2001$

$3^6 = 729$, $3^7 = 2187$ なので $n=7$

3. 最終的な答え

問題48：21

問題49：(1) 第6項 (2) 第7項