(1) 2つの三角形において、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しいならば、2つの三角形は合同である、という命題の真偽を答える。また、その命題の逆の真偽を答える。 (2) 全ての実数 $x$ について $x^2 + 3x + 1 > 0$ という命題の真偽を答える。

1. 問題の内容

(1) 2つの三角形において、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しいならば、2つの三角形は合同である、という命題の真偽を答える。また、その命題の逆の真偽を答える。

(2) 全ての実数 $x$ について $x^2 + 3x + 1 > 0$ という命題の真偽を答える。

2. 解き方の手順

(1) 2組の辺とその間の角が等しい場合は合同であるが、そうでない場合は合同とは限らない。例えば、二等辺三角形で、底角が等しいという条件だけでは合同とは言えない。従って、命題は偽である。

命題の逆は、「2つの三角形が合同ならば、2組の辺と1組の角がそれぞれ等しい」となる。合同であれば対応する辺と角は等しいので、これは真である。

(2) $x^2 + 3x + 1 > 0$ が全ての実数 $x$ について成り立つかを調べる。

二次方程式 $x^2 + 3x + 1 = 0$ の判別式を $D$ とすると、

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 9 - 4 = 5 > 0$

であるから、この二次方程式は実数解を持つ。

$x^2 + 3x + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 1 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{5}{4}$

よって、$x = -\frac{3}{2}$ のとき、$(x + \frac{3}{2})^2 = 0$ となり、

$x^2 + 3x + 1 = -\frac{5}{4} < 0$

となる。

したがって、全ての実数 $x$ について $x^2 + 3x + 1 > 0$ とは言えないので、命題は偽である。

3. 最終的な答え

ア: 偽

イ: 真

ウ: 偽