与えられた関数 $f(x) = 2x^3$ の導関数 $f'(x)$ を定義に従って計算し、空欄「カ」「キ」「ク」「ケ」を埋める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = 2x^3$ の導関数 $f'(x)$ を定義に従って計算し、空欄「カ」「キ」「ク」「ケ」を埋める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = 2(x+h)^3 = 2(x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3) = 2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3$

次に、$f(x+h) - f(x)$ を計算します。

$f(x+h) - f(x) = (2x^3 + 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3) - 2x^3 = 6x^2h + 6xh^2 + 2h^3$

したがって、

$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{6x^2h + 6xh^2 + 2h^3}{h} = 6x^2 + 6xh + 2h^2$

よって、$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (6x^2 + 6xh + 2h^2) = 6x^2$

したがって、「カ」は 6、「キ」は 6、「ク」は 2, 「ケ」は $6x^2$　となります。

3. 最終的な答え

カ: 6

キ: 6

ク: 2

ケ: 6$x^2$　（選択肢③）