$a$ を定数とする。不等式 $5-4(2-x)>7x-2a$ の解を求め、さらに、その解に自然数がちょうど2個含まれるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ を定数とする。不等式 $5-4(2-x)>7x-2a$ の解を求め、さらに、その解に自然数がちょうど2個含まれるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を解く。

$5 - 4(2-x) > 7x - 2a$

$5 - 8 + 4x > 7x - 2a$

$-3 + 4x > 7x - 2a$

$-3x > -2a + 3$

$x < \frac{2a-3}{3}$

したがって、$x < \frac{2}{3}a - 1$ である。

次に、不等式の解に自然数がちょうど2個含まれるような $a$ の範囲を求める。

解が $x < \frac{2}{3}a - 1$ なので、自然数 1, 2 が含まれ、3 が含まれない場合を考える。

つまり、不等式を満たす最大の自然数が 2 であるためには、

$2 < \frac{2}{3}a - 1 \le 3$ が成り立つ必要がある。

$2 < \frac{2}{3}a - 1$ を解くと

$3 < \frac{2}{3}a$

$9 < 2a$

$a > \frac{9}{2}$

$\frac{2}{3}a - 1 \le 3$ を解くと

$\frac{2}{3}a \le 4$

$2a \le 12$

$a \le 6$

したがって、$\frac{9}{2} < a \le 6$ となる。

3. 最終的な答え

$x < \frac{2}{3}a - 1$

$\frac{9}{2} < a \le 6$