3点A(-1, 6), B(1, a), C(a, 0) が一直線上にあるとき、aの値を求めます。

1. 問題の内容

3点A(-1, 6), B(1, a), C(a, 0) が一直線上にあるとき、aの値を求めます。

2. 解き方の手順

3点が一直線上にあるということは、どの2点を選んで計算した直線の傾きも等しいということです。

まず、点Aと点Bを通る直線の傾きを求めます。傾きは、yの増加量/xの増加量で計算できます。

$傾き_{AB} = \frac{a - 6}{1 - (-1)} = \frac{a - 6}{2}$

次に、点Bと点Cを通る直線の傾きを求めます。

$傾き_{BC} = \frac{0 - a}{a - 1} = \frac{-a}{a - 1}$

点Aと点Cを通る直線の傾きを求めます。

$傾き_{AC} = \frac{0 - 6}{a - (-1)} = \frac{-6}{a+1}$

3点が一直線上にあるので、$傾き_{AB} = 傾き_{BC}$ が成り立ちます。よって、

$\frac{a - 6}{2} = \frac{-a}{a - 1}$

$(a - 6)(a - 1) = -2a$

$a^2 - 7a + 6 = -2a$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$(a - 2)(a - 3) = 0$

したがって、$a = 2$ または $a = 3$

次に、$傾き_{AB} = 傾き_{AC}$ を確認します。

$\frac{a - 6}{2} = \frac{-6}{a+1}$

$(a - 6)(a + 1) = -12$

$a^2 - 5a - 6 = -12$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$(a - 2)(a - 3) = 0$

したがって、$a = 2$ または $a = 3$

また、$傾き_{AC} = 傾き_{BC}$ を確認します。

$\frac{-6}{a+1} = \frac{-a}{a - 1}$

$-6(a-1) = -a(a+1)$

$-6a + 6 = -a^2 - a$

$a^2 - 5a + 6 = 0$

$(a - 2)(a - 3) = 0$

したがって、$a = 2$ または $a = 3$

a=1の時, 傾きBCが定義できないので、a≠1 であることに注意。$a = 2$ または $a = 3$はこの条件を満たします。

$a = 2$ のとき、A(-1, 6), B(1, 2), C(2, 0)となり、

$傾き_{AB} = \frac{2-6}{1-(-1)} = \frac{-4}{2} = -2$

$傾き_{BC} = \frac{0-2}{2-1} = -2$

$a = 3$ のとき、A(-1, 6), B(1, 3), C(3, 0)となり、

$傾き_{AB} = \frac{3-6}{1-(-1)} = \frac{-3}{2}$

$傾き_{BC} = \frac{0-3}{3-1} = \frac{-3}{2}$

3. 最終的な答え

a = 2, 3