ある道路において、1時間あたり平均120台の自動車がランダムに分布して走行している。この道路のある地点に料金所を設置したとき、料金所での自動車の到着分布について、以下の確率を求める。 (1) ある1分間に、3台の自動車が到着する確率 (2) ある1分間に、3台以上の自動車が到着する確率 (3) 連続する2台の自動車の到着間隔が30秒以上になる確率 (4) 連続する2台の自動車の到着間隔が60秒以上になる確率

1. 問題の内容

ある道路において、1時間あたり平均120台の自動車がランダムに分布して走行している。この道路のある地点に料金所を設置したとき、料金所での自動車の到着分布について、以下の確率を求める。

(1) ある1分間に、3台の自動車が到着する確率

(2) ある1分間に、3台以上の自動車が到着する確率

(3) 連続する2台の自動車の到着間隔が30秒以上になる確率

(4) 連続する2台の自動車の到着間隔が60秒以上になる確率

2. 解き方の手順

この問題は、ポアソン分布と指数分布を用いて解く。

(1) 1分間に到着する自動車の台数の平均は、$\lambda = 120/60 = 2$ 台である。

ポアソン分布の確率質量関数は、

$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$

ここで、$X$ は到着する自動車の台数、$k$ は求める台数、$\lambda$ は平均到着台数である。

$k=3$ のとき、

$P(X=3) = \frac{e^{-2} 2^3}{3!} = \frac{e^{-2} \times 8}{6} = \frac{4}{3} e^{-2} \approx 0.1804$

(2) 3台以上の自動車が到着する確率を求めるには、余事象の確率を用いる。

$P(X \ge 3) = 1 - P(X=0) - P(X=1) - P(X=2)$

$P(X=0) = \frac{e^{-2} 2^0}{0!} = e^{-2} \approx 0.1353$

$P(X=1) = \frac{e^{-2} 2^1}{1!} = 2e^{-2} \approx 0.2707$

$P(X=2) = \frac{e^{-2} 2^2}{2!} = 2e^{-2} \approx 0.2707$

$P(X \ge 3) = 1 - e^{-2} - 2e^{-2} - 2e^{-2} = 1 - 5e^{-2} \approx 1 - 5 \times 0.1353 = 1 - 0.6765 = 0.3235$

(3) 到着間隔が30秒以上になる確率は、指数分布を用いる。

$\lambda = 120/3600 = 1/30$ (台/秒)

$P(T > t) = e^{-\lambda t}$

ここで、$T$ は到着間隔、$t$ は求める時間である。

$t = 30$ のとき、

$P(T > 30) = e^{-(1/30) \times 30} = e^{-1} \approx 0.3679$

(4) 到着間隔が60秒以上になる確率は、指数分布を用いる。

$t = 60$ のとき、

$P(T > 60) = e^{-(1/30) \times 60} = e^{-2} \approx 0.1353$

3. 最終的な答え

(1) ある1分間に、3台の自動車が到着する確率: $P(X=3) \approx 0.1804$

(2) ある1分間に、3台以上の自動車が到着する確率: $P(X \ge 3) \approx 0.3235$

(3) 連続する2台の自動車の到着間隔が30秒以上になる確率: $P(T > 30) \approx 0.3679$

(4) 連続する2台の自動車の到着間隔が60秒以上になる確率: $P(T > 60) \approx 0.1353$