2つのサイコロを投げたとき、小さい方の目の数をXとします。ただし、2つのサイコロの目が等しいときは、その目の数をXとします。 (a) 小さい方の目の数が2である確率 $P(X=2)$ を求めます。 (b) 期待値 $E(X)$ を求めます。

1. 問題の内容

2つのサイコロを投げたとき、小さい方の目の数をXとします。ただし、2つのサイコロの目が等しいときは、その目の数をXとします。

(a) 小さい方の目の数が2である確率 $P(X=2)$ を求めます。

(b) 期待値 $E(X)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(a) $P(X=2)$ を求める。

2つのサイコロの出方を $(a, b)$ と表します。ただし、$a$ は1つ目のサイコロの目、$b$ は2つ目のサイコロの目を表します。

$X=2$ となるのは、以下のケースです。

* $(2, 2)$

* $(2, 3)$

* $(2, 4)$

* $(2, 5)$

* $(2, 6)$

* $(3, 2)$

* $(4, 2)$

* $(5, 2)$

* $(6, 2)$

よって、全部で9通りです。

2つのサイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 = 36$通りなので、$P(X=2) = \frac{9}{36}$

(b) 期待値$E(X)$を求める。

$X$ がとりうる値は1, 2, 3, 4, 5, 6です。それぞれの確率を求めます。

$P(X=1)$は、(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (3,1), (4,1), (5,1), (6,1)の11通りなので、$P(X=1) = \frac{11}{36}$

$P(X=2) = \frac{9}{36}$ (すでに計算済み)

$P(X=3)$は、(3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,3), (5,3), (6,3)の7通りなので、$P(X=3) = \frac{7}{36}$

$P(X=4)$は、(4,4), (4,5), (4,6), (5,4), (6,4)の5通りなので、$P(X=4) = \frac{5}{36}$

$P(X=5)$は、(5,5), (5,6), (6,5)の3通りなので、$P(X=5) = \frac{3}{36}$

$P(X=6)$は、(6,6)の1通りなので、$P(X=6) = \frac{1}{36}$

期待値$E(X)$は、

$E(X) = 1 \cdot \frac{11}{36} + 2 \cdot \frac{9}{36} + 3 \cdot \frac{7}{36} + 4 \cdot \frac{5}{36} + 5 \cdot \frac{3}{36} + 6 \cdot \frac{1}{36}$

$E(X) = \frac{11 + 18 + 21 + 20 + 15 + 6}{36} = \frac{91}{36}$

3. 最終的な答え

(a) $P(X=2) = \frac{9}{36}$

(b) $E(X) = \frac{91}{36}$