10枚のカードが入った箱がある。その内訳はAが5枚、Bが3枚、Cが2枚である。 (1) カードを取り出すごとに箱に戻すとき、3回カードを取り出したとき、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。 (2) 取り出したカードを箱に戻さないとき、3回カードを取り出したとき、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。

1. 問題の内容

10枚のカードが入った箱がある。その内訳はAが5枚、Bが3枚、Cが2枚である。

(1) カードを取り出すごとに箱に戻すとき、3回カードを取り出したとき、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。

(2) 取り出したカードを箱に戻さないとき、3回カードを取り出したとき、1回目と3回目に取り出したカードの文字が一致する確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合

1回目と3回目に取り出すカードが同じ文字である確率を求める。

1回目の試行と3回目の試行は独立であるため、それぞれの場合の確率を計算し、その和を求める。

* 1回目と3回目がAの場合： $\frac{5}{10} \times \frac{5}{10} = \frac{25}{100}$

* 1回目と3回目がBの場合： $\frac{3}{10} \times \frac{3}{10} = \frac{9}{100}$

* 1回目と3回目がCの場合： $\frac{2}{10} \times \frac{2}{10} = \frac{4}{100}$

したがって、1回目と3回目が同じ文字である確率は、これらの確率の和になる。

(2) カードを取り出したカードを箱に戻さない場合

1回目と3回目に取り出すカードが同じ文字である確率を求める。

1回目の試行と3回目の試行は独立ではないため、1回目の試行の結果に応じて確率が変化する。1回目と3回目の文字が一致するパターンをそれぞれ計算し、その和を求める。

* 1回目と3回目がAの場合： $\frac{5}{10} \times \frac{4}{9} = \frac{20}{90}$

* 1回目と3回目がBの場合： $\frac{3}{10} \times \frac{2}{9} = \frac{6}{90}$

* 1回目と3回目がCの場合： $\frac{2}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{2}{90}$

したがって、1回目と3回目が同じ文字である確率は、これらの確率の和になる。

3. 最終的な答え

(1) カードを取り出すごとに箱に戻す場合：

$\frac{25}{100} + \frac{9}{100} + \frac{4}{100} = \frac{38}{100} = \frac{19}{50}$

(2) カードを取り出したカードを箱に戻さない場合：

$\frac{20}{90} + \frac{6}{90} + \frac{2}{90} = \frac{28}{90} = \frac{14}{45}$