確率変数Xの確率密度関数が与えられており、(a)期待値E(X)と(b)分散V(X)を求める問題です。確率密度関数は、 $f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \leq x \leq 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ で与えられています。

1. 問題の内容

確率変数Xの確率密度関数が与えられており、(a)期待値E(X)と(b)分散V(X)を求める問題です。確率密度関数は、

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \leq x \leq 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

で与えられています。

2. 解き方の手順

(a) 期待値E(X)の計算:

期待値は、$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$ で計算できます。今回の場合は、

$E(X) = \int_{0}^{2} x(-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx = \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2) dx$

$= [-\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3]_{0}^{2} = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8) = -3 + 4 = 1$

(b) 分散V(X)の計算:

分散は、$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。まずは、$E(X^2)$を計算します。

$E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx = \int_{0}^{2} x^2(-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx = \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3) dx$

$= [-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4]_{0}^{2} = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16) = -\frac{24}{5} + 6 = \frac{-24 + 30}{5} = \frac{6}{5}$

したがって、

$V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - (1)^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{1}{5}$

3. 最終的な答え

(a) 期待値E(X) = 1

(b) 分散V(X) = 1/5