確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられており、以下のようになっています。 $ f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases} $ (a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。 (b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられており、以下のようになっています。

$$

f(x) = \begin{cases}

-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\

0 & (\text{その他})

\end{cases}

$$

(a) 期待値 $E(X)$ を求めよ。

(b) 分散 $V(X)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ を求める。

期待値は確率密度関数を使って次のように計算できます。

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

$$

この場合、$f(x)$ は $0 \le x \le 2$ の範囲でのみゼロでないので、積分範囲は $0$ から $2$ になります。

$$

E(X) = \int_{0}^{2} x (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx = \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2) dx

$$

積分を実行します。

$$

E(X) = [-\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3]_{0}^{2} = -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3) = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8) = -3 + 4 = 1

$$

(b) 分散 $V(X)$ を求める。

分散は $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$$

E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx

$$

積分範囲は $0$ から $2$ になります。

$$

E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx = \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3) dx

$$

積分を実行します。

$$

E(X^2) = [-\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4]_{0}^{2} = -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4) = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16) = -\frac{96}{20} + \frac{48}{8} = -\frac{24}{5} + 6 = -\frac{24}{5} + \frac{30}{5} = \frac{6}{5}

$$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。

$$

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = \frac{6}{5} - (1)^2 = \frac{6}{5} - 1 = \frac{6}{5} - \frac{5}{5} = \frac{1}{5}

$$

3. 最終的な答え

(a) $E(X) = 1$

(b) $V(X) = \frac{1}{5}$