確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が次のように与えられている。 $f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$ このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が次のように与えられている。

$f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (\text{その他}) \end{cases}$

このとき、$X$ の期待値 $E(X)$ を求める。

2. 解き方の手順

期待値 $E(X)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて次のように計算できる。

$E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

今回の問題では、$f(x)$ は $0 \le x \le 2$ の範囲でのみ $0$ でない値を取るため、積分範囲は $0$ から $2$ となる。

$E(X) = \int_{0}^{2} x (-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x) dx$

$E(X) = \int_{0}^{2} (-\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2) dx$

積分を実行する。

$E(X) = [-\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3]_0^2$

$E(X) = (-\frac{3}{16}(2)^4 + \frac{1}{2}(2)^3) - (-\frac{3}{16}(0)^4 + \frac{1}{2}(0)^3)$

$E(X) = (-\frac{3}{16} \cdot 16 + \frac{1}{2} \cdot 8) - (0)$

$E(X) = -3 + 4$

$E(X) = 1$

3. 最終的な答え

$E(X) = 1$