確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。 $ f(x) = \begin{cases} -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\ 0 & (その他) \end{cases} $ (a) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。 (b) $X$ の分散 $V(X)$ を求めなさい。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の確率密度関数 $f(x)$ が与えられています。

$$

f(x) = \begin{cases}

-\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x & (0 \le x \le 2) \\

0 & (その他)

\end{cases}

$$

(a) $X$ の期待値 $E(X)$ を求めなさい。

(b) $X$ の分散 $V(X)$ を求めなさい。

2. 解き方の手順

(a) 期待値 $E(X)$ の計算

期待値 $E(X)$ は、確率密度関数 $f(x)$ を用いて次のように計算できます。

$$

E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx

$$

与えられた $f(x)$ では、積分範囲は $0 \le x \le 2$ です。

$$

E(X) = \int_{0}^{2} x \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx

$$

$$

E(X) = \int_{0}^{2} \left( -\frac{3}{4}x^3 + \frac{3}{2}x^2 \right) dx

$$

$$

E(X) = \left[ -\frac{3}{4} \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}

$$

$$

E(X) = \left[ -\frac{3}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^3 \right]_{0}^{2}

$$

$$

E(X) = -\frac{3}{16}(2^4) + \frac{1}{2}(2^3) - 0

$$

$$

E(X) = -\frac{3}{16}(16) + \frac{1}{2}(8)

$$

$$

E(X) = -3 + 4

$$

$$

E(X) = 1

$$

(b) 分散 $V(X)$ の計算

分散 $V(X)$ は、$E(X^2) - (E(X))^2$ で計算できます。

まず、$E(X^2)$ を計算します。

$$

E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) dx

$$

$$

E(X^2) = \int_{0}^{2} x^2 \left( -\frac{3}{4}x^2 + \frac{3}{2}x \right) dx

$$

$$

E(X^2) = \int_{0}^{2} \left( -\frac{3}{4}x^4 + \frac{3}{2}x^3 \right) dx

$$

$$

E(X^2) = \left[ -\frac{3}{4} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{3}{2} \cdot \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{2}

$$

$$

E(X^2) = \left[ -\frac{3}{20}x^5 + \frac{3}{8}x^4 \right]_{0}^{2}

$$

$$

E(X^2) = -\frac{3}{20}(2^5) + \frac{3}{8}(2^4) - 0

$$

$$

E(X^2) = -\frac{3}{20}(32) + \frac{3}{8}(16)

$$

$$

E(X^2) = -\frac{96}{20} + \frac{48}{8}

$$

$$

E(X^2) = -\frac{24}{5} + 6

$$

$$

E(X^2) = -\frac{24}{5} + \frac{30}{5}

$$

$$

E(X^2) = \frac{6}{5}

$$

次に、分散 $V(X)$ を計算します。

$$

V(X) = E(X^2) - (E(X))^2

$$

$$

V(X) = \frac{6}{5} - (1)^2

$$

$$

V(X) = \frac{6}{5} - 1

$$

$$

V(X) = \frac{6}{5} - \frac{5}{5}

$$

$$

V(X) = \frac{1}{5}

$$

3. 最終的な答え

(a) 期待値 $E(X) = 1$

(b) 分散 $V(X) = \frac{1}{5}$