以下の3つの問題を解きます。 (1) $y = e^{\alpha x}$ がすべての $x$ について $y'' - 4y' - 21y = 0$ を満たすとき、定数 $\alpha$ の値を求めます。 (2) $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ の解を求めます。 (3) $y = e^{-3x}$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものを $y = - \boxed{6} \cdot e \cdot x$ の形で求めます。

1. 問題の内容

以下の3つの問題を解きます。

(1) $y = e^{\alpha x}$ がすべての $x$ について $y'' - 4y' - 21y = 0$ を満たすとき、定数 $\alpha$ の値を求めます。

(2) $f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$ について、$f'(x) = 0$ の解を求めます。

(3) $y = e^{-3x}$ の接線で原点 $(0,0)$ を通るものを $y = - \boxed{6} \cdot e \cdot x$ の形で求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$y = e^{\alpha x}$ を微分すると、

$y' = \alpha e^{\alpha x}$

$y'' = \alpha^2 e^{\alpha x}$

これらを $y'' - 4y' - 21y = 0$ に代入すると、

$\alpha^2 e^{\alpha x} - 4\alpha e^{\alpha x} - 21 e^{\alpha x} = 0$

$e^{\alpha x} (\alpha^2 - 4\alpha - 21) = 0$

$e^{\alpha x} > 0$ なので、

$\alpha^2 - 4\alpha - 21 = 0$

$(\alpha - 7)(\alpha + 3) = 0$

よって、$\alpha = 7$ または $\alpha = -3$ です。

(2)

$f(x) = (\log|x^2 - 2|)^2$

$f'(x) = 2 \log|x^2 - 2| \cdot \frac{1}{x^2 - 2} \cdot 2x = \frac{4x \log|x^2 - 2|}{x^2 - 2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、

$4x \log|x^2 - 2| = 0$

$x = 0$ または $\log|x^2 - 2| = 0$

$|x^2 - 2| = 1$

$x^2 - 2 = 1$ または $x^2 - 2 = -1$

$x^2 = 3$ または $x^2 = 1$

$x = \pm \sqrt{3}$ または $x = \pm 1$

したがって、$x = 0, \pm 1, \pm \sqrt{3}$ です。

(3)

$y = e^{-3x}$ の接線を考えます。

$y' = -3 e^{-3x}$

接点を $(t, e^{-3t})$ とすると、接線の方程式は

$y - e^{-3t} = -3e^{-3t} (x - t)$

$y = -3e^{-3t} x + 3te^{-3t} + e^{-3t}$

この接線が原点 $(0,0)$ を通るので、

$0 = 3te^{-3t} + e^{-3t}$

$e^{-3t} (3t + 1) = 0$

$e^{-3t} > 0$ なので、

$3t + 1 = 0$

$t = -\frac{1}{3}$

接線の傾きは $-3e^{-3(-\frac{1}{3})} = -3e$

よって、接線の方程式は $y = -3e x$ です。

3. 最終的な答え

(1) $\alpha = 7, -3$

(2) $x = 0, \pm 1, \pm \sqrt{3}$

(3) 6

問1: -3

問2: 7

問3: 0

問4: 1

問5: 3

問6: 3