与えられた微分方程式 $y' = x^3$ を変数分離形として解き、一般解を求める。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = x^3$ を変数分離形として解き、一般解を求める。

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は $y' = x^3$ です。

ここで、$y' = \frac{dy}{dx}$ であるので、この式は次のように書き換えられます。

$\frac{dy}{dx} = x^3$

次に、変数分離を行います。つまり、$y$ に関する項を左辺に、$x$ に関する項を右辺にまとめます。この場合、両辺に $dx$ を掛けることで変数分離が完了します。

$dy = x^3 dx$

次に、両辺を積分します。

$\int dy = \int x^3 dx$

左辺の積分は $y$ となり、右辺の積分は $\frac{x^4}{4} + C$ となります。ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、

$y = \frac{x^4}{4} + C$

3. 最終的な答え

$y = \frac{x^4}{4} + C$