曲線 $y = x^2 + 3$ と直線 $x = 1$, $x = 2$ およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 3$ と直線 $x = 1$, $x = 2$ およびx軸で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

面積Sは、定積分を用いて計算できます。

$S = \int_{1}^{2} (x^2 + 3) dx$

まず、$x^2 + 3$ の不定積分を求めます。

$\int (x^2 + 3) dx = \frac{1}{3}x^3 + 3x + C$

次に、定積分の値を計算します。

$S = \left[ \frac{1}{3}x^3 + 3x \right]_{1}^{2} = (\frac{1}{3}(2)^3 + 3(2)) - (\frac{1}{3}(1)^3 + 3(1))$

$= (\frac{8}{3} + 6) - (\frac{1}{3} + 3) = \frac{8}{3} + 6 - \frac{1}{3} - 3 = \frac{7}{3} + 3 = \frac{7}{3} + \frac{9}{3} = \frac{16}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}$