曲線 $y = x^2 - 1$ と $x$軸で囲まれた部分を $x$軸の周りに回転させてできる立体の体積を求める問題です。積分を用いて体積を計算する過程が示されており、空欄を埋める形式になっています。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 - 1$ と $x$軸で囲まれた部分を $x$軸の周りに回転させてできる立体の体積を求める問題です。積分を用いて体積を計算する過程が示されており、空欄を埋める形式になっています。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 回転体の体積の公式の適用**

$y=f(x)$ を $x$軸周りに回転させてできる立体の体積 $V$ は、積分を用いて

$V = \pi \int_{a}^{b} (f(x))^2 dx$

で表されます。$a$ と $b$ は積分範囲を表します。問題文では、$f(x) = x^2 - 1$なので、

$V = A \int_{B}^{C} (x^2 - 1)^D dx$

となり、$A = \pi$, $D=2$ であることがわかります。積分範囲は、$x^2 - 1 = 0$ を解くと、$x = \pm 1$ なので、$B = -1$, $C = 1$ です。

* **ステップ2: 積分範囲の変更**

関数 $(x^2 - 1)^2$ は偶関数であるため、積分範囲を $0$ から $1$ に変更し、$2$倍することで計算を簡単にできます。

$V = \pi \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^2 dx = 2\pi \int_{0}^{1} (x^2 - 1)^2 dx$

問題文では、

$V = 2E \int_{F}^{G} (x^H - Ix^2 + 1) dx$

とあり、$E = \pi$, $F = 0$, $G = 1$, $H=4$, $I=2$であることが分かります。

* **ステップ3: 定積分の計算**

$V = 2\pi \int_{0}^{1} (x^4 - 2x^2 + 1) dx$

$= 2\pi \left[\frac{1}{5}x^5 - \frac{2}{3}x^3 + x\right]_0^1$

$= 2\pi \left(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\right)$

$= 2\pi \left(\frac{3 - 10 + 15}{15}\right)$

$= 2\pi \left(\frac{8}{15}\right)$

$= \frac{16}{15}\pi$

* **ステップ4: 答えの形式に合わせる**

$V = \frac{JK}{LM}\pi$ なので、$J=1$, $K=6$, $L=1$, $M=5$となります。

3. 最終的な答え

$A = \pi$

$B = -1$

$C = 1$

$D = 2$

$E = \pi$

$F = 0$

$G = 1$

$H = 4$

$I = 2$

$J = 1$

$K = 6$

$L = 1$

$M = 5$

したがって、

$\frac{JK}{LM} \pi = \frac{16}{15} \pi$

となります。