曲線 $y = \sqrt{x+2}$、x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。積分を用いて面積を計算します。

1. 問題の内容

曲線 $y = \sqrt{x+2}$、x軸、y軸で囲まれた図形の面積を求める問題です。積分を用いて面積を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分範囲を決定します。y軸との交点は $x=0$ なので、積分の下限は0です。x軸との交点は $y=0$ となる点なので、$\sqrt{x+2} = 0$ より $x=-2$ ですが、積分範囲はy軸との交点から始まるので考える必要はありません。

$y= \sqrt{x+2}$ と $y=0$ の交点は $x = -2$ なので、$x$ の範囲は $-2 \leq x \leq 0$ の区間で考える必要があります。

問題文より、積分範囲は $-A$ から $B$ とあり、図から判断すると、$A = 2$ 、 $B = 0$ であり、面積 $S$ は

$S = \int_{-2}^{0} \sqrt{x+2} dx$

で表されます。

次に、不定積分を計算します。$t = x+2$ と置換すると、$dt = dx$ となり、$x = -2$ のとき $t=0$、$x=0$ のとき $t=2$ となります。

$S = \int_0^2 \sqrt{t} dt = \int_0^2 t^{1/2} dt = \left[ \frac{2}{3} t^{3/2} \right]_0^2 = \frac{2}{3} (2^{3/2}) - \frac{2}{3}(0^{3/2}) = \frac{2}{3} (2 \sqrt{2}) = \frac{4 \sqrt{2}}{3}$

したがって、

$\int_{-2}^{0} \sqrt{x+2} dx = \left[ \frac{2}{3} (x+2)^{3/2} \right]_{-2}^0 = \frac{2}{3} (0+2)^{3/2} - \frac{2}{3}(-2+2)^{3/2} = \frac{2}{3} (2\sqrt{2}) = \frac{4\sqrt{2}}{3}$

$C = 2$

$D = 3$

$E = x+2$

$F = 3$

$G = 2$

$I = 0$

$H = -2$

$J = 4$

$K = 2$

$L = 3$

3. 最終的な答え

$\frac{4\sqrt{2}}{3}$