曲線 $y = \frac{1}{x} + 1$、直線 $y = 0$、$x = 1$、$x = 3$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求め、画像の空欄AからMを埋める。

1. 問題の内容

曲線 $y = \frac{1}{x} + 1$、直線 $y = 0$、$x = 1$、$x = 3$ で囲まれた部分を $x$ 軸の周りに回転してできる立体の体積を求め、画像の空欄AからMを埋める。

2. 解き方の手順

まず、回転体の体積の公式を確認します。$y = f(x)$ を $x$ 軸周りに $x = a$ から $x = b$ まで回転させてできる立体の体積 $V$ は、

$V = \pi \int_a^b [f(x)]^2 dx$

で与えられます。

この問題では、$f(x) = \frac{1}{x} + 1$、$a = 1$、$b = 3$ なので、

$V = \pi \int_1^3 \left( \frac{1}{x} + 1 \right)^2 dx$

となります。したがって、A = $\pi$, B = 1, C = 3, D = 2

$\left( \frac{1}{x} + 1 \right)^2 = \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1$

なので、

$V = \pi \int_1^3 \left( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1 \right) dx$

となります。したがって、E = $\pi$, F = 1, G = 1, H = 2, I = 1

$\int \left( \frac{1}{x^2} + \frac{2}{x} + 1 \right) dx = -\frac{1}{x} + 2\log|x| + x$

なので、

$V = \pi \left[ -\frac{1}{x} + 2\log|x| + x \right]_1^3 = \pi \left[ \left( -\frac{1}{3} + 2\log 3 + 3 \right) - \left( -1 + 2\log 1 + 1 \right) \right]$

$= \pi \left[ -\frac{1}{3} + 2\log 3 + 3 - 0 \right] = \pi \left[ \frac{8}{3} + 2\log 3 \right] = \frac{8+6\log \sqrt{3}} {\sqrt{3}}$

したがって、

$V = \left( \frac{8}{3} + 2\log 3 \right) \pi = \left( \frac{8 + 6 \log \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)\pi$

$V = \frac{8+6\log3}{3}\pi$

したがって、J= 8, K = 2, L = 3, M = 3

3. 最終的な答え

A = $\pi$

B = 1

C = 3

D = 2

E = $\pi$

F = 1

G = 1

H = x

I = 1

J = 8

K = 2

L = 3

M = 3

最終的な答え: V = $\frac{8+2\log 3}{3} \pi$