9個の文字 E, X, C, E, L, L, E, N, T が与えられている。 (1) これらの文字を左から横一列に並べる場合の数を求める。また、Lが続いて並ばない並べ方の総数と、Eが続けて並ばない並べ方の総数を求める。 (2) これらの文字から任意に4文字を選んで左から横一列に並べる場合の数を求める。

1. 問題の内容

9個の文字 E, X, C, E, L, L, E, N, T が与えられている。

(1) これらの文字を左から横一列に並べる場合の数を求める。また、Lが続いて並ばない並べ方の総数と、Eが続けて並ばない並べ方の総数を求める。

(2) これらの文字から任意に4文字を選んで左から横一列に並べる場合の数を求める。

2. 解き方の手順

(1)

(ア) 9文字を並べる総数：

9文字のうち、Eが3個、Lが2個あるので、総数は

$\frac{9!}{3!2!} = \frac{362880}{6 \times 2} = \frac{362880}{12} = 30240$

(イ) Lが続いて並ばない並べ方の総数:

まずL以外の7文字（E, X, C, E, E, N, T）を並べる。これは $\frac{7!}{3!} = \frac{5040}{6} = 840$ 通り。

次に、並べた7文字の間にLを挿入する。Lを挿入できる場所は8箇所ある。この8箇所から2箇所を選ぶので、$\binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ 通り。

したがって、Lが続いて並ばない並べ方の総数は $840 \times 28 = 23520$ 通り。

(ウ) Eが続けて並ばない並べ方の総数:

まずL, X, C, L, N, Tの6文字を並べると $\frac{6!}{2!} = 360$通り。

この6文字の間にEを挿入する場所は7箇所ある。3個のEを異なる場所に入れるので$\binom{7}{3} = \frac{7\times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$通り。

よってEが続けて並ばない並べ方の総数は$360 \times 35 = 12600$通り。

(2)

4文字を取り出して並べる場合の数。

文字の種類は E, X, C, L, N, Tの6種類。Eが3個、Lが2個。

(i) 4文字すべてが異なる場合。6種類から4文字を選ぶ。${}_6 P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$

(ii) 同じ文字が2つ含まれる場合。

同じ文字は E または L。

(a) Eを2つ含む場合：残りの2文字は5種類から選ぶ。 ${}_5 P_2 = 20$。$\frac{4!}{2!} \times 20 = 12 \times 20 = 240$

(b) Lを2つ含む場合：残りの2文字は5種類から選ぶ。${}_5 P_2 = 20$。$\frac{4!}{2!} \times 20 = 12 \times 20 = 240$

(iii) 同じ文字が3つ含まれる場合。Eを3つ含む。残りの1文字は5種類から選ぶ。$5 \times \frac{4!}{3!} = 20$

(iv) 同じ文字が2種類、それぞれ2つずつ含まれる場合。Eを2つ、Lを2つ含む。$\frac{4!}{2!2!} = 6$

よって合計は$360 + 240 + 240 + 20 + 6 = 866$通り。

3. 最終的な答え

ア: 30240

イ: 23520

ウ: 12600

エ: 866