問題3は、ロジスティック方程式 $\frac{dy}{dt} = k(1-\frac{y}{L})y$ について、 (1) 一般解を求める。 (2) 初期条件 $y(0) = 100$, $L = 10000$ を代入して、特解を求める。

1. 問題の内容

問題3は、ロジスティック方程式

$\frac{dy}{dt} = k(1-\frac{y}{L})y$

について、

(1) 一般解を求める。

(2) 初期条件 $y(0) = 100$, $L = 10000$ を代入して、特解を求める。

2. 解き方の手順

(1) ロジスティック方程式の一般解を求める。

変数分離を行う。

$\frac{dy}{y(1-\frac{y}{L})} = kdt$

左辺を部分分数分解する。

$\frac{1}{y(1-\frac{y}{L})} = \frac{1}{y} + \frac{1/L}{1-\frac{y}{L}} = \frac{1}{y} + \frac{1}{L-y}$

よって、

$(\frac{1}{y} + \frac{1}{L-y})dy = kdt$

両辺を積分する。

$\int (\frac{1}{y} + \frac{1}{L-y})dy = \int kdt$

$\ln|y| - \ln|L-y| = kt + C$ (Cは積分定数)

$\ln|\frac{y}{L-y}| = kt + C$

$\frac{y}{L-y} = e^{kt+C} = Ae^{kt}$ (Aは任意定数)

$y = (L-y)Ae^{kt}$

$y = LAe^{kt} - yAe^{kt}$

$y(1+Ae^{kt}) = LAe^{kt}$

$y = \frac{LAe^{kt}}{1+Ae^{kt}} = \frac{L}{1+A^{-1}e^{-kt}}$

ここで、$A^{-1} = C$ と置き換える。

$y = \frac{L}{1+Ce^{-kt}}$

(2) 初期条件 $y(0) = 100$, $L = 10000$ を代入して、特解を求める。

$y(0) = 100 = \frac{10000}{1+Ce^{0}}$

$100 = \frac{10000}{1+C}$

$1+C = \frac{10000}{100} = 100$

$C = 99$

よって、特解は

$y = \frac{10000}{1+99e^{-kt}}$

3. 最終的な答え

(1) ロジスティック方程式の一般解：

$y = \frac{L}{1+Ce^{-kt}}$

(2) 初期条件を満たす特解：

$y = \frac{10000}{1+99e^{-kt}}$