体積が $3V_0$ と $2V_0$ の断熱容器AとBが細管でつながれている。Aには圧力 $2p_0$、温度 $T_0$ の単原子分子理想気体が、Bには圧力 $p_0$、温度 $3T_0$ の単原子分子理想気体が入っている。コックを開いて十分時間が経った後の圧力を求める。

1. 問題の内容

体積が $3V_0$ と $2V_0$ の断熱容器AとBが細管でつながれている。Aには圧力 $2p_0$、温度 $T_0$ の単原子分子理想気体が、Bには圧力 $p_0$、温度 $3T_0$ の単原子分子理想気体が入っている。コックを開いて十分時間が経った後の圧力を求める。

2. 解き方の手順

まず、コックを開く前後の気体の内部エネルギーの総和が保存されることを利用する。

単原子分子理想気体の内部エネルギー $U$ は、

$U = \frac{3}{2} nRT = \frac{3}{2} PV$

で表される。ここで、$n$はモル数、$R$は気体定数、$T$は絶対温度、$P$は圧力、$V$は体積である。

コックを開く前のAの内部エネルギー $U_A$ は、

$U_A = \frac{3}{2} (2p_0)(3V_0) = 9 \frac{p_0 V_0}{}$

コックを開く前のBの内部エネルギー $U_B$ は、

$U_B = \frac{3}{2} (p_0)(2V_0) = 3 \frac{p_0 V_0}{}$

コックを開いた後の内部エネルギー $U_{total}$ は、圧力が等しくなり $p$ とすると、体積は $3V_0 + 2V_0 = 5V_0$ なので、

$U_{total} = \frac{3}{2} p (5V_0) = \frac{15}{2} p V_0$

エネルギー保存則より、

$U_A + U_B = U_{total}$

$9 p_0 V_0 + 3 p_0 V_0 = \frac{15}{2} p V_0$

$12 p_0 V_0 = \frac{15}{2} p V_0$

両辺を$V_0$で割り、$p$について解く。

$12 p_0 = \frac{15}{2} p$

$p = \frac{24}{15} p_0 = \frac{8}{5} p_0$

3. 最終的な答え

$\frac{8}{5} p_0$