この問題は、三角関数の公式（2倍角、3倍角、半角の公式）を導き、三角関数の加法定理を用いて具体的な値を計算し、最後に積和の公式を利用して大きな数の掛け算を近似計算するものです。

1. 問題の内容

この問題は、三角関数の公式（2倍角、3倍角、半角の公式）を導き、三角関数の加法定理を用いて具体的な値を計算し、最後に積和の公式を利用して大きな数の掛け算を近似計算するものです。

2. 解き方の手順

問題1

(1) 2倍角の公式

$sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$

$cos 2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 = 1 - 2sin^2\alpha$

(2) sinの3倍角の公式

$sin 3\alpha = sin(2\alpha + \alpha) = sin2\alpha cos\alpha + cos2\alpha sin\alpha$

$= 2sin\alpha cos^2\alpha + (1-2sin^2\alpha)sin\alpha$

$= 2sin\alpha (1-sin^2\alpha) + sin\alpha - 2sin^3\alpha$

$= 2sin\alpha - 2sin^3\alpha + sin\alpha - 2sin^3\alpha$

$= 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$

(3) 半角の公式

$sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-cos\theta}{2}$

$cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+cos\theta}{2}$

(4) sin の半角公式の証明

$cos2x = 1 - 2sin^2x$ より、$2sin^2x = 1 - cos2x$。

$x = \frac{\theta}{2}$ と置くと、$2sin^2\frac{\theta}{2} = 1 - cos\theta$

よって、$sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-cos\theta}{2}$

問題2

(1) $sin(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = sin\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4} - cos\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $cos\frac{\pi}{12} = cos(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}) = cos\frac{\pi}{3}cos\frac{\pi}{4} + sin\frac{\pi}{3}sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

問題3

(1)

$cos(\alpha + \beta) = cos\alpha cos\beta - sin\alpha sin\beta$

$cos(\alpha - \beta) = cos\alpha cos\beta + sin\alpha sin\beta$

上記の式を足し合わせると

$cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta) = 2cos\alpha cos\beta$

よって $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\{cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)\}$

上記の式を引き算すると

$cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta) = 2sin\alpha sin\beta$

よって $sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}\{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)\}$

(2)

$7986 \times 4384 = 0.7986 \times 0.4384 \times 10^8 \approx sin53^{\circ} \times sin26^{\circ} \times 10^8$

$sin53^{\circ} \times sin26^{\circ} = \frac{1}{2}(cos(53^{\circ}-26^{\circ}) - cos(53^{\circ}+26^{\circ})) = \frac{1}{2}(cos27^{\circ} - cos79^{\circ})$

$\approx \frac{1}{2}(0.8910 - 0.1908) = \frac{1}{2} \times 0.7002 = 0.3501$

$0.3501 \times 10^8 = 35010000$

3. 最終的な答え

問題1

(1) $sin 2\alpha = 2sin\alpha cos\alpha$

$cos 2\alpha = cos^2\alpha - sin^2\alpha = 2cos^2\alpha - 1 = 1 - 2sin^2\alpha$

(2) $sin 3\alpha = 3sin\alpha - 4sin^3\alpha$

(3) $sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-cos\theta}{2}$

$cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+cos\theta}{2}$

(4) 証明は上記参照

問題2

(1) $\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$

(2) $\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

問題3

(1) $cos\alpha cos\beta = \frac{1}{2}\{cos(\alpha + \beta) + cos(\alpha - \beta)\}$

$sin\alpha sin\beta = \frac{1}{2}\{cos(\alpha - \beta) - cos(\alpha + \beta)\}$

(2) $sin53^{\circ} \times sin26^{\circ} \times 10^8$

$\frac{1}{2}(cos27^{\circ} - cos79^{\circ}) \times 10^8$

$0.3501 \times 10^8 = 35010000$